新人教A版必修2 高中数学 3.3.1 两直线的交点坐标 导学案

第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标学习目标1.理解两直线的交点坐标与两直线方程的关系,两直线的交点个数与两直线方程中系数的关系.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.知道交点系直线方程,并会简单应用.合作学习一、设计问题、创设情境问题1:已知点A(2,-1),直线l:3x+4y-2=0.点A与直线l的位置关系是怎样的?若点B(a,2)在直线l上,求实数a的值.你解答上面问题的依据是什么?问题2:已知直线l1:x-y-1=0,l2:x+y-1=0,试判断直线l1,l2是否相交?若相交,请你求出交点坐标,并说明求解的依据;若不相交,请说明理由.二、学生探索,尝试解决问题3:这种依据可以推广到一般情形吗?已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交,请同学们看下表,并填空:几何元素及关系代数表示点AA(a,b)直线ll:Ax+By+C=0点A在直线l上直线l1与直线l2的交点是A三、信息交流,揭示规律问题4:请你说出用代数法求两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的过程,以及可能出现的结果.四、运用规律,解决问题【例1】判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0;(2)l1:3x-4y+4=0,l2:6x-8y-1=0;(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.问题5:由本例中的(2)你能得到,当两直线方程满足什么特征时,两直线平行吗?直线的方程由直线方程中的系数A,B,C决定,当系数具备什么特征时,两直线平行、重合、相交呢? 问题6:由例1中的(3)思考,当λ≠0时,方程λ(3x+3y-10)=0表示的直线与方程3x+3y-10=0表示的直线是否是同一条直线?那么当λ变化时,方程(x-y)+λ(3x+3y-10)=0表示什么图形?该图形有何特点?该图形与直线l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0有没有联系呢?请大家探究.五、变式演练、深化提高【例2】已知a为实数,两直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于一点,求证:交点不可能在第一象限及x轴上.【例3】求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线l的方程.六、信息交流、教学相长问题7:直线是几何图形,而直线方程是代数式子,直线的有关问题可以完全由其代数方程来研究吗?为什么?用方程来研究直线,即用坐标法研究直线,有什么好处呢?布置作业课本P109习题A组第1,2,3题,选做第4题.参考答案一、问题1:点A在直线l上;a=-2;坐标满足直线方程的点在直线上;直线上任意一点的坐标都是直线方程的解.问题2:联立两直线方程,得解得因此,两直线的交点坐标为(1,0).求解的依据是:两直线的交点坐标是两直线方程的公共解,即两直线方程构成的方程组的解.二、问题3:几何元素及关系代数表示点AA(a,b)直线ll:Ax+By+C=0点A在直线l上Aa+Bb+C=0直线l1与直线l2的交点是A点A的坐标是方程组的解三、问题4:一般地,将两条直线的方程联立,得方程组若方程组有唯一解,则两直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两直线平行;若方程组有无数个解,此时两直线重合.四、【例1】(1)l1与l2相交,交点M();(2)l1与l2平行;(3)l1与l2重合.问题5:一般地,对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(其中系数满足A2B2C2≠0),可以得到方程组(*)有下列结论:方程组(*)解的情况两直线的位置关系系数的特征 唯一解相交无解平行无数个解重合问题6:不难发现该方程是二元一次方程,因此它表示直线.当λ变化时,可以根据λ的不同的具体值,画出相应的直线,发现这些直线始终过直线l1与l2的交点M().也可以思考直线方程的特点反映了直线的特点,通过观察该方程恒有一个确定的解,即方程组的解.即直线(x-y)+λ(3x+3y-10)=0表示过直线l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0的交点除直线l2外的所有直线.五、【例2】解:考虑方程组∵l1,l2有交点,∴a≠1.∴方程组的解为当a>1时,x0;当a0,y