新高考高考数学一轮复习巩固练习7.7第62练《立体几何小题易错练》（解析版）

第62练　立体几何小题易错练1．设a，b，c表示三条互不重合的直线，α，β表示两个不重合的平面，则使得“a∥b”成立的一个充分条件为(　　)A．a⊥c，b⊥cB．a∥α，b∥αC．a∥α，a∥β，α∩β＝bD．b⊥α，c∥α，a⊥c答案　C解析　A项，a⊥c，b⊥c，则a，b可能平行、异面、相交，不是a∥b的充分条件；B项，a∥α，b∥α，则a，b可能平行、异面、相交，不是a∥b的充分条件；C项，a∥α，a∥β，α∩β＝b，由线面平行的性质可知a∥b，是a∥b的充分条件；D项，b⊥α，c∥α，a⊥c，则a，b可能平行、异面、相交，不是a∥b的充分条件．2．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则(　　)A．n⊥βB．n∥β或n⊂βC．n⊥αD．n∥α或n⊂α答案　D解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ABCD为α，平面ADD1A1为β，BB1所在直线为m，若n为B1C1，满足m⊥n，显然n∥α，n∥β，所以A，C错误；若n为A1B1，满足m⊥n，显然n⊥β，所以B错误；对D，n∥α或n⊂α，显然满足题意，若n与α交于点P，点Q为直线n上不同于点P的另外一点，连接PB，因为m⊥α，PB⊂α，所以m⊥PB，又m⊥n，而n与PB交于点P，所以m⊥平面PBQ，又因为m⊥α，于是过点B存在两个不同的平面与m垂直，矛盾，所以D正确．3．已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α＝20°，则β等于(　　)A．20°B．160°C．20°或160°D．不能确定 答案　C解析　因为角α的两边和角β的两边分别平行，所以α，β相等或者互补，所以β＝20°或β＝160°.4.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　　)A．8cmB．6cmC．2(1＋)cmD．2(1＋)cm答案　A解析　由直观图知原图形是平行四边形OABC，如图，OA＝O′A′＝1，OB⊥OA，OB＝2O′B′＝2，AB＝＝3，所以平行四边形OABC的周长是8cm.5．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果＝＋7＋6－4，那么点M必(　　)A．在平面BAD1内B．在平面BA1D内C．在平面BA1D1内D．在平面AB1C1内答案　C解析　因为＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，所以M，B，A1，D1四点共面． 6.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，点E为AB上的动点，则D1E＋CE的最小值为(　　)A．2B.C.＋1D．2＋答案　B解析　如图，连接D1A，C1B并分别延长至F，G，使得AF＝AD，BG＝BC，连接EG，FG，∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AF，AB⊥BG，又AB＝AD＝AF，∴四边形ABGF为正方形，∴EG＝＝＝CE，∴D1E＋CE的最小值为D1G，又D1G＝＝＝，∴D1E＋CE的最小值为.7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是(　　) A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈答案　D解析　∵球的体积V＝π×3，∴d3＝V＝V.∵π＝3.14159…，∴＝1.57079….记d1≈，∴d≈V＝V；d2≈，∴d≈2V＝V；d3≈，∴d≈V；d4≈，∴d≈V.∵≈1.688，≈1.571，∴在，1.5,1.57，中，最接近.∴d4更精确．8．(2022·杭州模拟)已知正三棱锥的底面边长为2，高为，则三棱锥的内切球的表面积为(　　) A．4πB.πC.πD．3π答案　C解析　如图所示，设正三棱锥为P－ABC，设O为三棱锥的内切球的球心，D为正△ABC的中心，所以PD为正三棱锥的高，PD＝，设E是AB的中点，正三棱锥的底面边长为2，所以CE＝＝＝3，DE＝CE＝1，因为PD为正三棱锥的高，所以PE＝＝＝2，由正三棱锥的性质可知S△PAB＝S△PAC＝S△PCB＝×2×2＝2，S△ABC＝×2×3＝3，VP－ABC＝×3×＝3，设内切球的半径为r，VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PBC＋VO－PBA＋VO－PAC＝r＝3，解得r＝，所以三棱锥的内切球的表面积为4π·2＝π.9．(多选)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB＝1，AA1＝，若AP＝λAC，λ∈[0,1]，则(　　) A．当λ＝时，D1P⊥A1C1B．直线BP与平面A1BC1所成角的最大值大于C．当平面PB1D1截直四棱柱所得截面面积为时，λ＝D．四面体A1C1DP的体积为定值答案　ABD解析　当λ＝时，P为AC的中点，连接A1C1，D1P，B1D1，BD(图略)，则A1C1⊥B1D1，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BDD1B1，所以A1C1⊥平面BDD1B1，因为D1P⊂平面BDD1B1，所以D1P⊥A1C1，A正确；因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以AC∥A1C1，因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，则点P到平面A1BC1的距离等于点A到平面A1BC1的距离．设点A到平面A1BC1的距离为d，则，即××d＝××1××1，所以××d＝，所以d＝.设直线BP与平面A1BC1所成的角为θ，θ∈，因为点P到平面A1BC1的距离为定值，所以当BP最小，即P为AC的中点时，直线BP与平面A1BC1所成的角最大，此时BP＝，所以sinθ＝，因为sin2θ＝>，所以θ>，B正确；当λ＝时，点P为AC上靠近点C的四等分点，则平面PB1D1截四棱柱所得截面为等腰梯形B1D1EF，如图，易知EF＝BD＝，等腰梯形B1D1EF的高h＝＝，所以梯形B1D1EF的面积为×B1D1×h＝，由几何体的对称性可知，当平面PB1D1截直四棱柱所得截面面积为时，λ＝或λ＝，C错误； 由上可知，AC∥平面A1C1D，所以点P到平面A1C1D的距离恒为定值，因为△A1C1D的面积为定值，所以四面体A1C1DP的体积为定值，D正确．10．(多选)(2022·沈阳模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M，N，P分别是平面ADD1A1，平面CDD1C1，平面ABCD的中心，点Q是线段A1C1上的动点，则下列结论正确的是(　　)A．PN与A1C1所成的角为B．D点到平面MNP的距离为aC．三棱锥M－NPQ的体积为定值a3D．直线DQ与平面A1ACC1所成角的正切值的最大值为答案　ABC解析　如图所示，连接C1D，NP，BD，A1B，BC1，QP，QD，则点N是C1D的中点，点P是BD的中点，则NP∥C1B，故PN与A1C1所成的角即C1B与A1C1所成的角，即∠A1C1B，又A1C1＝BC1＝A1B＝a，则∠A1C1B＝，故A正确；NP＝BC1＝a，同理知MN＝MP＝a，又DM＝DN＝DP＝a， 则三棱锥D－MNP为棱长为a的正四面体，则易知点D到平面MNP的距离为a，故B正确；易知MN∥AC，AC∥A1C1，则MN∥A1C1，A1C1⊄平面MNP，即A1C1∥平面MNP，又点Q是线段A1C1上的动点，则点Q到平面MNP的距离为定值，且与点A1到平面MNP的距离相等，而M为A1D的中点，则点A1到平面MNP的距离与点D到平面MNP的距离相等，为a，故三棱锥M－NPQ的体积VM－NPQ＝VQ－MNP＝××2sin×a＝a3，故C正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易知BD⊥平面ACC1A1，则直线DQ与平面A1ACC1所成角即为∠DQP，tan∠DQP＝，又DP＝a，则tan∠DQP取最大值时，PQ取最小值为a，此时tan∠DQP＝＝，故D错误．11．将底面直径为8，高为2的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为________．答案　4π解析　欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，如图，设圆柱的高为h，底面半径为r，则＝，解得h＝2－r，所以S圆柱侧＝2πrh＝2πr＝π，当r＝2时，S圆柱侧取得最大值4π.12．若m，n是两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m∥n，m∥α，则n∥α；②若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；③若m∥n，n⊥α，则m⊥α；④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. 上面命题中，所有真命题的序号是________．答案　③④解析　对于①，若m∥n，m∥α，则n⊂α或n∥α，故选项①错误；对于②，若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β平行或相交，如图所示，故选项②错误；对于③，若m∥n，n⊥α，根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，故m⊥α，故选项③正确；对于④，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，直线m，n的方向向量即为平面α，β的法向量，因为m⊥n，则两个平面的法向量垂直，故α⊥β，故选项④正确．13．(2022·上海市西南位育中学模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝CC1＝2，点P是直线BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值是________．答案　10解析　如图，连接A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1放在同一个平面内，在BC1上取一点与A1C构成三角形，由三角形两边之和大于第三边，可知A1P＋PC的最小值是A1C的值，因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝CC1＝2，所以矩形BCC1B1是边长为2的正方形，则BC1＝4，又在矩形ABB1A1中，A1B1＝AB＝2，BB1＝2，则A1B＝4，又A1C＋BC＝A1B2，所以∠A1C1B＝900，则∠A1C1C＝135°，在△A1C1C中，利用余弦定理可得A1C＝＝＝10.所以A1P＋PC的最小值是10.14．(2022·南通模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为1，则以点A为球心，1为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为________．答案　解析　根据题意，如图，以点A为球心，1为半径的球和平面A1B1BA，平面A1C1CA 的交线是以A为圆心，1为半径的圆的圆弧，根据正三棱柱的性质，作BC的中点M，连接AM，易知AM⊥平面B1BCC1，故球与平面B1BCC1的交线为以M为圆心，BC为直径的半圆，所以所求长度之和为×2π×1×2＋×2π×＝.