新高考高考数学一轮复习巩固练习4.12第41练《高考大题突破练—解三角形》（解析版）

第41练　高考大题突破练—解三角形考点一　角边问题1．(2020·徐州模拟)在①bcosA－c＝0，②acosB＝bcosA，③acosC＋b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝，c＝4，满足________．(1)请写出你的选择，并求出角A的值；(2)在(1)的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD的值．解　(1)若选择条件①，得cosA＝＝2>1，不符合题意；若选择条件②，由余弦定理知a·＝b·，化简得a＝b，所以a＋b＝2A，A为钝角，故无解；选择③时，a＝3sinB，根据正弦定理＝，得＝，解得sinB＝，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.根据正弦定理＝，得a＝3，故△ABC的面积S＝absinC＝.考点三　最值与范围问题3．(2022·遵义模拟)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知csinC－bsinB＝a(sinA－sinB)．(1)求角C；(2)若D为AB的中点，且c＝2，求CD的最大值．解　(1)因为csinC－bsinB＝a(sinA－sinB)，所以c2－b2＝a2－ab， 所以c2＝a2＋b2－ab且c2＝a2＋b2－2abcosC，所以cosC＝，又C∈(0，π)，所以C＝.(2)因为＝，所以||2＝2＝a2＋b2＋，又因为c2＝a2＋b2－ab＝4，所以a2＋b2＝4＋ab≥2ab，所以ab≤4(当且仅当a＝b＝2时取“＝”)，所以CD2＝a2＋b2＋＝≤＝3，所以CD≤(当且仅当a＝b＝2时取“＝”)，所以CD的最大值为.4．(2022·青岛模拟)在①＝，②S△AMN＝4，③AC＝AM这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，c＝8，点M，N是BC边上的两个三等分点，＝3，________，求AM的长和△ABC外接圆半径．(注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分)解　若选择条件①，因为＝，所以＝2，设BM＝t，所以AN＝2t，又B＝60°，c＝8，所以在△ABN中，AN2＝AB2＋BN2－2AB·BNcosB，即(2t)2＝82＋4t2－2×8×2tcos60°，即t2＋2t－8＝0，所以t＝2或t＝－4(舍去)．在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BMcosB＝82＋4－2×8×2cos60°＝52，所以AM＝2，同理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝82＋62－2×8×6cos60°＝52，所以AC＝2， 由正弦定理可得2R＝＝＝＝，所以△ABC外接圆半径为R＝.若选择条件②，因为点M，N是BC边上的三等分点，且S△AMN＝4，所以S△ABC＝12，因为B＝60°，所以S△ABC＝12＝AB·BCsin60°＝×8×BC×，所以BC＝6，所以BM＝2.在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BMcosB＝82＋4－2×8×2cos60°＝52，所以AM＝2，同理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝82＋62－2×8×6cos60°＝52，所以AC＝2，由正弦定理可得2R＝＝＝＝，所以△ABC外接圆半径为R＝.若选择条件③，设BM＝t，则BC＝3t，在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BMcosB＝82＋t2－2×8tcos60°＝64＋t2－8t，在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝82＋9t2－2×8×3tcos60°＝64＋9t2－24t，因为AC＝AM，所以64＋t2－8t＝64＋9t2－24t，所以t＝2，所以AM2＝52，所以AC＝AM＝2，由正弦定理可得2R＝＝＝＝，所以△ABC外接圆半径为R＝.