新高考高考数学一轮复习巩固练习6.3第50练《等比数列》（解析版）

第50练　等比数列考点一　等比数列基本量的运算1．(2022·呼和浩特模拟)在等比数列{an}中，a1＋a3＝9，a5＋a7＝36，则a1等于(　　)A．0B．1C．2D．3答案　D解析　在等比数列{an}中，a1＋a3＝9，a5＋a7＝36，∴q4＝＝＝4，解得q2＝2，∴a1＋a3＝3a1＝9，解得a1＝3.2．(2022·重庆模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－8，a7＝，则S6等于(　　)A．－B.C.D.答案　C解析　设等比数列{an}公比为q，则a7＝a2q5，又a2＝－8，a7＝，∴q＝－，故a1＝16，又Sn＝，即S6＝＝＝.3．已知数列{an}是等比数列，则“a2，a6是方程x2－6x＋3＝0的两根”是“a4＝－”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　D解析　因为a2，a6是方程x2－6x＋3＝0的两根，所以a2＋a6＝6，a2·a6＝3，得a＝3，又a4＝a2q2>0，所以a4＝，所以“a2，a6是方程x2－6x＋3＝0的两根”是“a4＝－”的既不充分也不必要条件．考点二　等比数列的判定与证明 4．(2022·长沙模拟)若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＝2，则b4等于(　　)A.B.C.D.答案　B解析　若为“梦想数列”，则有－1＝3＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}为以2为首项，以为公比的等比数列，则b4＝2×3＝.5．(2022·沈阳模拟)5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数(单位：万)约为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　设每个工程队承建的基站数构成数列{an}，则由题意可得an＝an－1＝an－1(n≥2，n∈N*)，故{an}是以为公比的等比数列， 可得S8＝＝10，解得a1＝.6．(多选)若数列{an}对任意的n≥2(n∈N)满足(an－an－1－2)(an－2an－1)＝0，则下面选项中关于数列{an}的命题正确的是(　　)A．{an}可以是等差数列B．{an}可以是等比数列C．{an}可以既是等差又是等比数列D．{an}可以既不是等差又不是等比数列答案　ABD解析　因为(an－an－1－2)(an－2an－1)＝0，所以an－an－1－2＝0或an－2an－1＝0，即an－an－1＝2或an＝2an－1.①当an≠0，an－1≠0时，{an}可以是等差数列或等比数列；②当an＝0或an－1＝0时，{an}可以既不是等差又不是等比数列．考点三　等比数列的性质7．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于(　　)A．12B．24C．30D．32答案　D解析　设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2，所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.8．(2022·模拟)已知{an}是等比数列，Sn是其前n项积，若＝32，则S9等于(　　)A．1024B．512C．256D．128答案　B解析　＝a3a4a5a6a7＝(a5)5＝32，则a5＝2，则S9＝a1a2a3a4a5a6a7a8a9＝(a5)9＝512.9．(2022·苏州第十中学模拟)已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a＋a＋…＋a等于(　　)A．(2n－1)2B.(2n－1)C．4n－1D.(4n－1) 答案　D解析　由等比数列的定义，得an＝1·2n－1＝2n－1，故bn＝a＝22n－2＝4n－1，由于＝＝4，b1＝1≠0，故{bn}是以1为首项，4为公比的等比数列，故a＋a＋…＋a＝＝.10．(2021·太原模拟)在等比数列{an}中，a2a6＋a5a11＝16，则a3a9的最大值是(　　)A．4B．8C．16D．32答案　B解析　由等比数列性质知，a3a9＝a4a8，∵a2a6＋a5a11＝a＋a＝16≥2a4a8(当且仅当a4＝a8时取等号)，∴a4a8≤8，∴a3a9≤8，即a3a9的最大值为8.11．(多选)(2022·安徽池州一中模拟)已知数列{an}为等比数列，下列结论正确的是(　　)A．a1a8＝a2a7B．若a2＝4，a6＝16，则a4＝±8C．当a5>0时，a3＋a7≥2a5D．当a3a4＋a6答案　AC解析　设等比数列{an}的公比为q，对于A，a1a8＝a1·a1q7＝aq7，a2a7＝a1q×a1q6＝aq7，所以a1a8＝a2a7，故A正确；对于B，由题意a4＝a2q2＝4q2>0，所以a4＝±8不正确，所以B不正确；对于C，a3＋a7－2a5＝＋a5q2－2a5＝a5≥a5＝0，当且仅当q2＝1时，取得等号，故C正确；对于D，当q＝1时，a7＝a3＝a4＝a6，则a3＋a7＝a4＋a6，故D不正确．12．(2022·银川模拟)已知各项都为正数的数列{an}，Sn是其前n项和，满足a1＝，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，则＝________. 答案　2n－1解析　因为a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，所以an(an＋1)－2an＋1(an＋1)＝0，即(an＋1)(an－2an＋1)＝0，而an>0，则an＋1>0，故an－2an＋1＝0，即＝(n∈N*)，故数列{an}是等比数列，首项为a1＝，公比为，则an＝n，Sn＝＝1－n，故＝＝＝2n－1.13．已知等比数列{an}的各项均为正数，a5≥，且存在m∈N*，使得am＋2＋＝1，则a1的最小值为________．答案　4解析　设等比数列{an}的公比为q，q>0，因为an>0，m∈N*，所以由基本不等式得，1＝am＋2＋≥2＝2＝2q，所以q≤，当且仅当am＋2＝，即am＋1＝时等号成立．则≤a5＝a1q4≤4a1＝，所以a1≥4，即a1的最小值为4.14．已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，则S2024＝________.答案　3(21012－1)解析　因为数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，当n＝1时，a2＝2，当n≥2时，anan－1＝2n－1，则＝2，所以数列{an}的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列，数列{an}的偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以S2024＝＋，＝21012－1＋2×21012－2＝3×21012－3＝3(21012－1)．