新高考高考数学一轮复习巩固练习6.5第52练《数列求和》（解析版）

第52练　数列求和考点一　分组求和与并项求和1．(2022·贵州模拟)已知数列{an}满足：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝16n.(1)求{an}的通项公式；(2)令bn＝log2an＋2n－1，求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)当n＝1时，a1＝16，当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＋2n－1an＝16n，①a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝16(n－1)，②①－②得2n－1an＝16，∴an＝25－n，当n＝1时，a1＝16满足通项公式，∴an＝25－n，n∈N*.(2)bn＝log225－n＋2n－1＝5－n＋2n－1，Tn＝(4＋20)＋(3＋21)＋(2＋22)＋…＋(5－n＋2n－1)＝＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)＝＋2n－1，n∈N*.考点二　错位相减法求和2．(2022·芜湖模拟)设等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋6a2＝1，a3＝a1·a2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a1＋6a2＝1，a3＝a1·a2，可得解得a1＝，q＝，所以数列{an}的通项公式an＝a1qn－1＝×n－1＝(n∈N*)．(2)由(1)可得bn＝an·log3an＝·log3＝－，记Tn＝＋＋＋…＋＋，则Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减，可得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝－，解得Tn＝－，所以Sn＝－.考点三　裂项相消法求和3．(2022·济南模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(an＋1)2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)在①bn＝；②bn＝3n·an；③bn＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．若________，求{bn}的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解　(1)因为4Sn＝(an＋1)2，所以当n＝1时，4a1＝4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1；当n≥2时，4Sn－1＝(an－1＋1)2，又4Sn＝(an＋1)2，所以两式相减得4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，可得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因为an>0，所以an－an－1＝2，验证可知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an＝2n－1.(2)若选条件①：bn＝＝＝，则Tn＝＝＝；若选条件②：bn＝3n·an＝3n·(2n－1)，则Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，上式两边同时乘3可得3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)×3n＋1，两式相减得－2Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1＝3－(2n－1)×3n＋1＋2× ＝－6＋(2－2n)3n＋1，可得Tn＝(n－1)·3n＋1＋3；若选条件③：由an＝2n－1可得Sn＝＝n2，所以bn＝＝＝，故Tn＝＝＝.4．(2022·河北衡水中学模拟)已知正项数列{an}，其前n项和为Sn，an＝1－2Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)由题意知an＝1－2Sn，①所以an＋1＝1－2Sn＋1，②②－①，得an＋1－an＝－2an＋1，即3an＋1＝an，所以＝，所以数列{an}是公比为的等比数列．又a1＝1－2S1＝1－2a1，所以a1＝.所以an＝·n－1＝.(2)由(1)得bn＝(－1)n＝(－1)n·3n＋(－1)n·(2n)，当n为奇数时，Tn＝(－3＋32－33＋34－…－3n)＋2(－1＋2－3＋4－…－n)＝＋2＋2 ＝－n－1＝－n，当n为偶数时，Tn＝(－3＋32－33＋34－…＋3n)＋2(－1＋2－3＋4－…＋n)＝＋2＋2＝＋n＝.综上所述，Tn＝