新高考高考数学一轮复习巩固练习6.8第55练《高考大题突破练——数列》(解析版)
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新高考高考数学一轮复习巩固练习6.8第55练《高考大题突破练——数列》(解析版)

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资料简介
第55练 高考大题突破练——数列1.(2022·长沙检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=1,S7=14,数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn=2.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若数列{cn}满足cn=bncosanπ,求数列{cn}的前2n项和T2n.解 (1)设数列{an}的公差为d,由可得解得所以an=.由b1·b2·b3·…·bn=,可得b1·b2·b3·…·bn-1=(n≥2),两式相除得bn=2n(n≥2),当n=1时也适合该等式,故bn=2n.(2)cn=bncosanπ=2ncosnπ,所以T2n=c1+c2+c3+…+c2n-1+c2n=21cosπ+22cosπ+23cosπ+…+22n-1·cosπ+22ncosnπ=22cosπ+24cos2π+26cos3π+…+22ncosnπ=-22+24-26+…+(-1)n22n==-.2.(2022·泰安模拟)在①a1+1,a3-1,a6-3成等比数列,②S5是a3和a23的等差中项,③{a2n}的前6项和是78,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并完成解答.已知数列{an}为公差大于1的等差数列,a2=3,且前n项和为Sn,若________,数列{bn}为等比数列,b5=8b2且b4=a8+1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解 (1)设{an}的公差为d.若选条件①,则(a3-1)2=(a1+1)(a6-3),即(d+2)2=(4-d)×4d,所以d=2或d=,因为d>1,所以d=2,an=a2+(n-2)d=3+2(n-2)=2n-1.若选条件②,则2S5=a3+a23,即2=a2+d+a2+21d,即10(a2-d)+20d=2a2+22d,解得d=2,所以an=2n-1.若选条件③,则a2+a4+a6+…+a12=6a2+×2d=18+30d=78,解得d=2,所以an=2n-1.设{bn}的公比为q,则=q3=8,则q=2,b4=a8+1=16,所以bn=b4·qn-4=16·2n-4=2n.(2)cn=(2n-1)·2n,则Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1,两式相减得-Tn=21+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1=2+2×-(2n-1)×2n+1=(-2n+3)×2n+1-6,所以Tn=(2n-3)2n+1+6.3.(2022·淄博模拟)在①S5=50,②S1,S2,S4成等比数列,③S6=3(a6+2)这三个条件中任选两个,补充到下面问题中,并解答本题.问题:已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,且满足________.(1)求an;(2)若bn-bn-1=2an(n≥2),且b1-a1=1,求数列的前n项和Tn.注:如果选择多种情况分别解答,按第一种解答计分.解 (1)选择条件①②, 由S5=50,得5a1+d=5(a1+2d)=50,即a1+2d=10,由S1,S2,S4成等比数列,得S=S1S4,即4a+4a1d+d2=4a+6a1d,即d=2a1,解得a1=2,d=4,因此an=4n-2.选择条件①③,由S5=50,得5a1+d=5(a1+2d)=50,即a1+2d=10,由S6=3(a6+2),得=3a1+3a6=3a6+6,即a1=2,解得d=4,因此an=4n-2.选择条件②③,由S1,S2,S4成等比数列,得S=S1S4,4a+4a1d+d2=4a+6a1d,即d=2a1,由S6=3(a6+2),得=3a1+3a6=3a6+6,即a1=2,解得d=4,因此an=4n-2.(2)由a1=2,an=4n-2可得b1=3,bn-bn-1=2an=8n-4,当n≥2时,(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)=(8n-4)+(8n-12)+…+12==4n2-4,即bn-b1=4n2-4,则bn=4n2-1,当n=1时,b1=3,符合bn=4n2-1,所以当n∈N*时,bn=4n2-1,则==,因此Tn===. 4.(2022·天津市宝坻区第一中学模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若数列{cn}满足c2n-1=an,c2n=(-1)nanbn,求数列{cn}的前2n项和T2n;(3)求.解 (1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,a1=3,b1=1,由得解得所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(2)T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)=(a1+a2+…+an)+a1(-b1)1+a2b2+…+(-1)nanbn.设{an}前n项和为A,A==n2+2n,设{(-1)nanbn}=前n项和为B,B=×3×(-2)1+×5×(-2)2+…+×(2n-1)×(-2)n-1+×(2n+1)×(-2)n,-2B=×3×(-2)2+×5×(-2)3+…+×(2n-1)×(-2)n+×(2n+1)×(-2)n+1,两式相减得3B=-3+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n-×(2n+1)×(-2)n+1.3B=-3+-×(2n+1)×(-2)n+1,B=-×(-2)n+1,综上可知T2n=A+B=n2+2n--×(-2)n+1.(3)==-.令Pn=,则Pn=+++…+. 即=--.

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