新高考高考数学一轮复习巩固练习7.2第57练《球的切、接问题》（解析版）

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时间：2022-08-17

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第57练　球的切、接问题考点一　定义法1．(2022·模拟)已知三棱锥DABC的四个顶点在球O的球面上，若AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，当三棱锥DABC的体积取到最大值时，球O的表面积为(　　)A.B．2πC．5πD.答案　A解析　如图所示，当三棱锥D－ABC的体积取到最大值时，则平面ABC⊥平面DBC.取BC的中点G，连接AG，DG，则AG⊥BC，DG⊥BC，分别取△ABC与△DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于点O，连接BO，OG，则O为三棱锥D－ABC外接球的球心，由AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，得正方形OEGF的边长为，则OG＝，∴三棱锥D－ABC的外接球的半径R＝＝＝，∴球O的表面积为4π×2＝.2．(2022·云南师大附中模拟)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝3，设该直三棱柱的外接球的表面积为S1，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为S2，则等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　易知Rt△ABC的外接圆直径为AC，所以半径长为，设外接球半径为R，则R2＝2＋2＝，∴S1＝4πR2＝34π，设Rt△ABC的内切圆半径为r，则×(3＋4＋5)·r＝×3×4，∴r＝1，∵2r＝2时，V′

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