新高考高考数学一轮复习巩固练习3.11第29练《高考大题突破练—隐零点问题》（解析版）

第29练 高考大题突破练—隐零点问题考点一 直接法1．函数f(x)＝(x－1)lnx－a.(1)若f(x)在x＝1处的切线方程为y＝1，求a的值；(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．解 (1)f′(x)＝，f′(1)＝0，且f(1)＝－a，∴切线方程为y－(－a)＝0，即y＝－a，∴a＝－1.(2)f(x)≥0恒成立，即a≤(x－1)lnx恒成立，令φ(x)＝(x－1)lnx，∴φ′(x)＝(x>0)，观察知φ′(1)＝0且当x∈(0,1)时，xlnx0，∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(1)＝0.故a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]．考点二 虚设零点2．已知函数f(x)＝aex－2x，a∈R.(1)求函数f(x)的极值；(2)当a≥1时，证明：f(x)－lnx＋2x>2.(1)解 f′(x)＝aex－2，当a≤0时，f′(x)0时，令f′(x)＝0得x＝ln，令f′(x)>0得x>ln， 令f′(x)0，∵g′(x)＝ex－，令φ(x)＝ex－(x>0)，则φ′(x)＝ex＋(x>0)，则φ′(x)>0，∴g′(x)在(0，＋∞)上为增函数，∵g′(1)＝e－1>0，g′＝－20，∴f(x)－lnx＋2x>2.3．已知函数f(x)＝xlnx.(1)求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；(2)若当x>1时，f(x)＋x>k(x－1)恒成立，求正整数k的最大值．解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝lnx＋1，因为f′＝2，f＝e，所以曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y－e＝2，即2x－y－e＝0.(2)由f(x)＋x>k(x－1)，得xlnx＋x>k(x－1)．即k1恒成立，令g(x)＝，只需k0，所以u(x)＝x－lnx－2在(1，＋∞)上单调递增，因为u＝－ln2