新高考高考数学一轮复习巩固练习3.8第26练《高考大题突破练—零点问题》（解析版）

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时间：2022-08-17

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第26练高考大题突破练—零点问题考点一判断、证明或讨论函数零点个数1．已知函数f(x)＝ex－x－a(a∈R)．(1)当a＝0时，求证：f(x)>x；(2)讨论函数f(x)在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．(1)证明当a＝0时，f(x)＝ex－x，令g(x)＝f(x)－x＝ex－x－x＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2.令g′(x)＝0，得x＝ln2.当x0，g(x)单调递增．所以x＝ln2是g(x)的极小值点，也是最小值点，即g(x)min＝g＝eln2－2ln2＝2ln>0，故当a＝0时，f(x)>x成立．(2)解 f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0.所以当x0，f(x)单调递增．所以x＝0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即f(x)min＝f(0)＝1－a.当1－a>0，即a0，所以f(x)在(－∞，0)内只有一个零点；由(1)得ex>2x，令x＝a，得ea>2a，所以f＝ea－a－a＝ea－2a>0，于是f(x)在(0，＋∞)内有一个零点；因此，当a>1时，f(x)在R上有两个零点．综上，当a1时，函数f(x)在R上有两个零点．2．已知函数f(x)＝(2－a)cosx－xsinx.(1)当a＝0时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当1

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