专题2 函 数第6练 函数的概念及表示考点一 函数的概念1．下列函数中，不能表示y是x的函数的是( )答案 A解析 在B，C，D中，对于任意一个x，均存在唯一的y与x对应，而在A中，存在一个x对应着两个y，不满足函数的定义．2．(多选)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译作“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝，N＝，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是( )A．y＝2xB．y＝x＋2C．y＝2|x|D．y＝x2答案 CD解析 在A中，当x＝4时，y＝8∉N，故A错误；在B中，当x＝1时，y＝3∉N，故B错误；在C中，任取x∈M，总有y＝2|x|∈N，故C正确；在D中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故D正确．3．以下四组函数中表示同一函数的是( )A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2C．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝答案 A解析 对于A，两个函数的定义域都为R，而g(x)＝＝|x|，所以这两个函数是同一个函数；对于B，f(x)＝的定义域为R，而g(x)＝()2的定义域为，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；对于C，f(x)＝的定义域为{x|x≠1}，而g(x)＝x＋1的定义域为R，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，f(x)＝·的定义域为{x|x≥1}，而g(x)＝的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数．考点二 求函数的解析式4．已知f(x)是一次函数，f(f(x))＝4x＋3，则f(x)等于( )A．2x＋1B．－2x－3C．4x＋3D．2x＋1或－2x－3答案 D解析 由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴解得或∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.5．若函数f(x)满足f ＝x2＋，则f(x)的解析式为____________________________．答案 f(x)＝x2－2(x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞))解析 ∵f ＝x2＋＋2－2＝2－2，∴f(x)＝x2－2(x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞))．6．已知f(＋1)＝x＋2，则函数f(x)的解析式为__________．答案 f(x)＝x2－1解析 f＝x＋2＝2－1，
令t＝＋1≥1，∴f(t)＝t2－1，则f(x)＝x2－1.考点三 分段函数7．已知函数f(x)＝则f(f(9))等于( )A.B．－C.D．－答案 D解析 ∵f(x)＝∴f(9)＝＝－2，∴f＝f(－2)＝sin＝－sin＝－.8．已知a>0且a≠1，函数f(x)＝若f(a)＝3，则f等于( )A．2B.C．－D．－答案 C解析 因为a>0且a≠1，所以f(a)＝logaa＋a＝3，解得a＝2，所以f(－a)＝f(－2)＝3－2＋1－1＝－1＝－.9．若min{a，b}＝则函数f(x)＝min{－x2，－2x－3}的最大值为________．答案 －1解析 当－x2≥－2x－3时，解得－1≤x≤3，函数f(x)＝min＝－2x－3，其最大值为f＝－1；当－x2≤－2x－3时，解得x≤－1或x≥3，函数f(x)＝min＝－x2，其最大值为f(－1)＝－1.综上可知，函数f(x)的最大值为－1.10．设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．答案 (4，＋∞)
解析 当a≥0时，f(a)＝a－1>1，解得a>4，符合a≥0；当a1，无解．故a>4.11．设函数f(x)＝若f＝4，则b等于( )A．1B.C.D.答案 D解析 ∵f＝3×－b＝－b，∴f＝4，①无解；②解得b＝.综上，b＝.12．已知f(x)满足2f(x)＋f ＝3x，则f(x)等于( )A．－2x－B．－2x＋C．2x＋D．2x－答案 D解析 2f(x)＋f ＝3x，①令x＝，得2f ＋f(x)＝，②由①×2－②得3f(x)＝6x－⇒f(x)＝2x－.13．(多选)设x∈R，定义符号函数sgnx＝则下列说法不正确的有( )A．|x|＝x|sgnx|B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgnxD．|x|＝xsgnx答案 ABC解析 对于选项A，右边＝x|sgnx|＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项B，右边＝xsgn|x|＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项C，右边＝|x|sgnx＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项D，右边＝xsgnx＝而左边＝|x|＝显然正确．14．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f ＝________.答案 6解析 当0
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