直线的两点式和一般式方程

直线的两点式 y=kx+by-y0=k(x-x0)k为斜率，P0(x0,y0)为直线上的一定点k为斜率，b为截距1).直线的点斜式方程：2).直线的斜截式方程：回顾 解：设直线方程为：y=kx+b例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．一般做法：由已知得：解方程组得：所以:直线方程为:y=x+2方程思想 还有其他做法吗？为什么可以这样做，这样做的根据是什么？ 即：得:y=x+2设P(x,y)为直线上不同于P1,P2的动点,与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：直线的两点式方程 已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),求通过这两点的直线方程．解：设点P(x,y)是直线上不同于P1,P2的点．可得直线的两点式方程：∴∵kPP1=kP1P2记忆特点：1.左边全为y，右边全为x2.两边的分母全为常数3.分子，分母中的减数相同推广 不是!1、是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程呢？两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．注意：当x1＝x2或y1=y2时,直线P1P2没有两点式程.(因为x1＝x2或y1=y2时,两点式的分母为零,没有意义)2、那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?思考 3、若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方程是什么?当x1＝x2时方程为：x＝x１当y1=y2时方程为：y=y１ 例2:已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l的方程．解:将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,得:即所以直线l的方程为：直线的截距式方程 ②截距可是正数,负数和零注意：①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线直线与x轴的交点(a,o)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?截距式直线方程:直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距 ⑴过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?解:⑴两条例3:2、截距为0时y=2x所以直线方程为：x+y-3=0a=3把(1,2)代入得：设:直线的方程为:举例1、截距不为0时 解：三条（也分为截距为0和部位0两种情况）(2)过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?解得：a=b=3或a=-b=-1直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x设截距可是正数,负数和零 例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程.解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：整理得：5x+3y-6=0这就是BC边所在直线的方程.举例 BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：即整理得：x+13y+5=0这就是BC边上中线所在的直线的方程.过A(-5,0),M的直线方程M 中点坐标公式：则若P1，P2坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)且中点M的坐标为(x,y).∵B(3,-3),C(0,2)∴M即M 已知直线l:2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的直线l1的方程.解：当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).当x=-2时,y=1.点(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).那么,点(2,7),(4,3)在l1上.因此,直线l1的方程为：化简得:2x+y-11=0思考题 还有其它的方法吗？∵l∥l1，所以l与l1的斜率相同∴kl1=-2经计算，l1过点(4,3)所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)化简得：2x+y-11=0 名称几何条件方程局限性直线方程的四种具体形式归纳 (1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？(2)每一个关于x,y的二元一次方程都表示直线吗？ 分析1：直线方程二元一次方程（2）当斜率不存在时L可表示为x-x0=0,亦可看作y的系数为0的二元一次方程.(x-x0+0y=0)结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.(1)当斜率存在时L可表示为y=kx+b或y-y0=k(x-x0)显然为二元一次方程. 即：对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？（1）当B0时，方程可变形为它表示过点，斜率为的直线.（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为零,于是方程可化为，它表示一条与y轴平行或重合的直线.结论2:关于x,y的二元一次方程,它都表示一条直线.分析2：直线方程二元一次方程 由分析1，2可知：直线方程二元一次方程定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.定义注意：一般式中，x的系数为正；A、B、C一般不为分数；先写x项，再写y项，最后写常数项 在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴：（2）平行于y轴：（3）与x轴重合：（4）与y轴重合：分析:(1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在,在x轴上的截距不为0．即A=0,B0,C0.(2)B=0,A0,C0.(3)A=0,C=0,B0.(4)B=0,C=0,A0.探究 例1已知直线过点A(6，4)，斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.解：代入点斜式方程有y+4=(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.举例 例2把直线L的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.解：化成斜截式方程y=x+3因此，斜率为k=,它在y轴上的截距是3.令y=0得x=－6.即L在x轴上的截距是－6.由以上可知L与x轴,y轴的交点分别为A(-6，0)B(0，3),过A，B做直线,为L的图形.举例 m,n为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直?解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0，且两条直线的斜率分别为但由于所以两条直线不垂直.（2）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为0，另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别为综上知：m=0，n为全体实数时，两条直线垂直.点评:分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案.练习 3)中点坐标：1)直线的两点式方程2)直线方程的一般式Ax+By+C=0小结直线的截距式方程： 形式已知条件方程适用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式斜率k和在y轴上的截距y＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)与坐标轴不垂直的直线五种形式的直线方程的对比截距式在x轴和y轴上的截距分别为a、b(ab≠0)与坐标轴不垂直和不过原点的直线一般式两个独立的条件Ax＋By＋C＝0(A2+B2≠0)任何直线 求直线方程的几种形式例1：已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线的一般式方程、斜截式方程及截距式方程，并画图．由两点式，得y－68－6＝x＋5，－4＋5整理，得2x－y＋16＝0，斜截式方程为y＝2x＋16，∴2x－y＝－16，两边同除以－16，解：直线过A(－5,6)，B(－4,8)两点， ＋＝1.＋＝1.得x－8y16故所求直线的一般式方程为2x－y＋16＝0，斜截式方程为y＝2x＋16，截距式方程为x－8y16图象如图1.图1 求直线方程时，结果在未作要求的情况下一般都整理成一般式．把一般式化为截距式时方法有两种：①分别令x＝0，y＝0求b和a；②移常数项，如Ax＋By＝－C，两边同除以－C(C≠0)，再整理成截距式的形式．1－1.已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4，求m、n的值． 解法二：将mx＋ny＋12＝0化为截距式得故m、n的值分别为4，－3. 利用一般式方程求斜率例2：已知直线Ax＋By＋C＝0(A、B不全为0).(1)当B≠0时，斜率是多少？当B＝0时呢？(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？即直线与x轴垂直，斜率不存在．(2)若方程表示通过原点的直线，则(0,0)符合直线方程，则C＝0.∴当C＝0时，方程表示通过原点的直线．解：(1)当B≠0时，方程可化为斜截式： 当B≠0时，直线Ax＋By＋C＝0的斜率是一般式化为斜截式后求解． 2m2＋m－1解：(1)在(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0中，令(2)因为直线的斜率为－1，所以－m2－2m－3＝－1，解得m＝－2，m＝－1(舍去)．2－1.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0，根据下列条件分别确定实数m的值．(1)l在x轴上的截距是－3；(2)斜率是－1. 1．过点A(2,3)和点B(2，－3)的直线的一般式方程是(）BA．x＝2C．y＝2B．x－2＝0D．y－2＝0C2．斜率为k且过原点的直线的一般式方程是(）A．y＝kxB．x－ky＝0C．kx－y＝0D．kx＋y＝0练习： 3．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和二、四象限，则()D解析：∵l过原点，∴C＝0，又l过二、四象限， 4．直线2x＋y＋7＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截)D距为b，则a、b的值是(A．a＝－7，b＝－7 思考：若方程表示一条直线，求实数m的取值范围．解：若方程表示一条直线，则       与不能同时成立.由:得:所以m的取值范围是： 如果直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形面积为S.(1)当S＝3时，这样的直线l有多少条，并求直线的方程；(2)当S＝4时，这样的直线l有多少条，并求直线的方程；(3)当S＝5时，这样的直线l有多少条，并求直线的方程；(4)若这样的直线l有且只有2条，求S的取值范围；(5)若这样的直线l有且只有3条，求S的取值范围；(6)若这样的直线l有且只有4条，求S的取值范围．思考： 思维突破：本题主要考查直线方程、一元二次方程以及不等式的基础知识，因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形面 ＝±8，即a2－6a＋12＝0或a2＋6a－12＝0，前一个方程Δ0有两个不等的解，∴这样的直线共有2条．有a2a－2即a2－8a＋16＝0或a2＋8a－16＝0，前一个方程Δ＝0有一个解，后一个方程Δ>0有两个不等的解，∴这样的直线共有3条． ＝±10，有a2a－2即a2－10a＋20＝0或a2＋10a－20＝0，前一个方程Δ>0有两个解，后一个方程Δ>0有两个不等的解，∴这样的直线共有4条．(4)若这样的直线l有且只有2条， 即a2－2Sa＋4S＝0或a2＋2Sa－4S＝0，后一个方程Δ>0恒成立肯定有两个不等的解，∴如果这样的直线只有2条，则前一个方程必须有Δ0恒成立肯定有两个不等的解，∴如果这样的直线只有4条，则前一个方程必须有Δ>0，即(－2S)2－4·4S>0.∴S的取值范围为(4，＋∞)．