高中数学第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程学案含解析新人教A版 必修
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高中数学第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程学案含解析新人教A版 必修

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时间:2022-08-16

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资料简介
3.2.1 直线的点斜式方程1.了解直线方程的点斜式的推导过程.(难点)2.掌握直线方程的点斜式并会应用.(重点)3.掌握直线方程的斜截式,了解截距的概念.(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1 直线的点斜式方程阅读教材P92~P93“例1”以上部分,完成下列问题.1.条件:点P(x0,y0)和斜率k.2.图示:图3213.方程:y-y0=k(x-x0),适用于斜率存在的直线.直线y-4=(x+3)的倾斜角和所过的定点分别是(  )A.60°,(-3,4)B.120°,(-3,4)C.60°,(3,-4)D.30°,(3,-4)【解析】 所给直线方程y-4=(x+3)为点斜式,k=,定点(-3,4),故倾斜角为60°.【答案】 A教材整理2 直线的斜截式方程阅读教材P94“例2”以上部分,完成下列问题. 1.直线l在y轴上的截距直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为直线在y轴上的截距.2.直线的斜截式方程方程y=kx+b由直线的斜率k和它在y轴上的截距b确定,我们称这个方程为直线的斜截式方程,简称为斜截式.适用范围是斜率存在的直线.在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4平行的直线的斜截式方程为__________.【解析】 ∵直线y=-3x-4的斜率为-3,所求直线与此直线平行,∴斜率为-3,又截距为2,∴由斜截式方程可得y=-3x+2.【答案】 y=-3x+2[小组合作型]求直线的点斜式方程 写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点(2,5),倾斜角为45°;(2)直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,求直线l的点斜式方程;(3)经过点C(-1,-1),且与x轴平行;(4)经过点D(1,1),且与x轴垂直.【精彩点拨】 先求出直线的斜率,然后由点斜式写方程.【自主解答】 (1)因为倾斜角为45°,所以斜率k=tan45°=1,所以直线的方程为y-5=x-2.(2)直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°.由题意知,直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率k′=tan135°=-1.又点P(3,4)在直线l上,由点斜式方程知,直线l的方程为y-4=-(x-3).(3)由题意知,直线的斜率k=tan0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y+1=0.(4)由题意可知直线的斜率不存在, 所以直线的方程为x=1,该直线没有点斜式方程.1.求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0).2.点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但x=x0除外.[再练一题]1.求满足下列条件的直线的点斜式方程.(1)过点P(-4,3),斜率k=-3;(2)过点P(3,-4),且与x轴平行;(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.【解】 (1)∵直线过点P(-4,3),斜率k=-3,由直线方程的点斜式得直线方程为y-3=-3(x+4).(2)与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为y-(-4)=0×(x-3),即y+4=0.(3)过点P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率kPQ===-1.又∵直线过点P(-2,3),∴直线的点斜式方程为y-3=-(x+2).求直线的斜截式方程 根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;(3)经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等.【精彩点拨】 ―→―→【自主解答】 (1)由直线方程的斜截式可知,所求直线的斜截式方程为y=2x+5.(2)∵倾斜角为150°,∴斜率k=tan150°=-. 由斜截式可得方程为y=-x-2.(3)设直线在两坐标轴上的截距为a,当a=0时,直线的斜截式方程为y=x.当a≠0时,设直线的斜截式方程为y=-x+b,则有4=-3+b,即b=7.此时方程为y=-x+7,故所求直线方程为y=x或y=-x+7.1.用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,要特别注意截距和距离的区别.2.直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断.[再练一题]2.已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.【解】 由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又∵l∥l1,∴l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,∴l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.[探究共研型]两直线平行与垂直的应用探究1 若两条直线的斜率均不存在,这两条直线位置关系如何?【提示】 平行或重合.探究2 若两条直线垂直,它们斜率的乘积一定等于-1吗?【提示】 不一定.若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,它们也互相垂直.  (1)若直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直,则a=________;(2)若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a=________.【精彩点拨】 已知两直线的方程,且方程中含有参数可利用l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2,l1⊥l2⇔k1·k2=-1求解.【自主解答】 (1)由题意可知,kl1=2a-1,kl2=4.∵l1⊥l2,∴4(2a-1)=-1,解得a=.(2)因为l1∥l2,所以a2-2=-1,且2a≠2,解得a=-1,所以a=-1时两直线平行.【答案】 (1) (2)-1(1)两条直线平行和垂直的判定:已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2,①若l1∥l2,则k1=k2,此时两直线与y轴的交点不同,即b1≠b2;反之k1=k2,且b1≠b2时,l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2.②若l1⊥l2,则k1·k2=-1;反之k1·k2=-1时,l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.(2)若已知含参数的两条直线平行或垂直,求参数的值时,要注意讨论斜率是否存在,若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件.[再练一题]3.(1)已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=________;(2)若直线l1:y=-x-与直线l2:y=3x-1互相平行,则a=________.【解析】 (1)由题意可知a·(a+2)=-1,解得a=-1.(2)由题意可知解得a=-.【答案】 (1)-1 (2)-1.已知直线的方程是y+2=-x-1,则(  ) A.直线经过点(-1,2),斜率为-1B.直线经过点(2,-1),斜率为-1C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1D.直线经过点(-2,-1),斜率为1【解析】 ∵方程可变形为y+2=-(x+1),∴直线过点(-1,-2),斜率为-1.【答案】 C2.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有(  )A.k>0,b>0 B.k>0,b

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