新教材人教版高中数学必修第二册分层作业7《平面向量的正交分解及坐标表示》(含解析)

课时分层作业(七) 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(  )A．2i＋3j       B．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋jC [记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.]2．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝(  )A．(－2，－2)B．(2,2)C．(1,1)D．(－1，－1)A [＝－＝(－2，－2)．故选A.]3．已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是(  )A．A点的坐标是(－2,4)B．B点的坐标是(－2,4)C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)D [当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．]4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(  )4 A．第一、二象限   B．第二、三象限C．第三象限D．第四象限D [x2＋x＋1＝2＋＞0，x2－x＋1＝2＋＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．]5．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(  )A．(－7,0)B．(7,6)C．(6,7)D．(7，－6)D [因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝.设D(x，y)，则有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y)，即解得因此D点坐标为(7，－6)．]二、填空题6．如图，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.(－3，－5) [＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，＝＋＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．]7．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________．(－1,2) [设C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，所以(x，y)＝(－1,2)．]4 8．作用于原点的两个力F1＝(1,1)，F2＝(2,3)，为使它们平衡，需加力F3＝________.(－3，－4) [因为F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－F1－F2＝－(1,1)－(2,3)＝(－3，－4)．]三、解答题9．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．[解] 由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝(4,3)．又＝＋＝－＋，所以＝－4i＋3j，所以＝(－4,3)．10．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．[解] 设点D的坐标为(x，y)，(1)当平行四边形为ABCD时，＝，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，∴∴∴D(0，－1)．4 (2)当平行四边形为ABDC时，同(1)可得D(2，－3)．(3)当平行四边形为ADBC时，同(1)可得D(6,15)．综上可见点D可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．[等级过关练]1．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．(－，1) [设＝(x，y)，∴x＝||cos150°＝2×＝－，y＝||sin150°＝2×＝1，∴的坐标为(－，1)．]2．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则x＝________.1 [∵＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，∵＝a，∴解得x＝1.]4