新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)6.3.1《平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算》（解析版）

6.3.1平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算（精讲）思维导图 常见考法 考法一平面向量的基本定理【例1-1】（2021·陕西）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；对B：因为，故B中两个向量不共线；对C：因为，故C中两个向量共线，故C中向量不可作基底；对D：因为，故D中两个向量共线，故D中向量不可作基底.故选：B.【例1-2】（2020·怀仁县大地学校高一月考）如图在梯形中，，，设，，则（）A．B． C．D．【答案】D【解析】因为，，所以，又，，所以.故选：D.【例1-3】（2020·全国高一课时练习）在三角形中，为的中点，若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为的中点，所以，所以，又，所以，，故选：C.【例1-4】（2020·全国高一课时练习）在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】建立以为原点，为轴的直角坐标系， 则，，.又根据题意，得，，则.所以，，则，，.故选:B.【一隅三反】1．（2020·上海）下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】对于，因为，所以与共线，不能成为平面内的一组基向量，故不正确；对于，因为，所以与不共线，能成为平面内的一组基向量，故正确；对于，因为，所以与共线，不能成为平面内的一组基向量，故不正确：对于，因为，所以与共线，不能成为平面内的一组基向量，故不正确；故选：B.2．（2020·河南高一其他模拟）如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（） A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B.3．（2020·湖北高一期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（  ）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，故选D．4．（2021·甘肃）设为所在平面内一点，，若，则(  ) A．B．3C．D．2【答案】A【解析】若，，化为，与比较，可得：，，解得．则．故选．5．（2020·株洲市九方中学高一期末）如图，已知，若点满足，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，又，所以，因此.故选：C.6．（2020·全国高一课时练习）中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是  A．B．C．D．【答案】B【解析】中，，，，，，，； 以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，，，，，，，，设点为，，，，，，，，，，，①直线的方程为，②，联立①②，得，此时最大，．故选：B．考法二加减数乘的坐标运算 【例2】（1）（2020·北京高一期末）已知点，，则（）A．B．C．D．（2）（2020·陕西省商丹高新学校高一期中）已知，，则（）A．2B．C．4D．（3）（2020·河南开封市·高一期中）已知，，若，则点的坐标为（）A．（3，2）B．（3，-1）C．（7，0）D．（1，0）（4）（2021·黑龙江）已知向量，，，且，则，的值分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】（1）C（2）C（3）C（4）D【解析】（1）点，，则.故选：C.（2）由题得=（0,4）所以．故选C（3）设点的坐标为，则，，因为，即，所以，解得，所以.故选：C.（4）因为，，所以，，，因为，，所以，，解得，，故选：D.【一隅三反】1．（2020·咸阳百灵学校高一月考）已知点(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（）A．(－2，－4)B．(－4，－2)C．(2，4)D．(4，2)【答案】A【解析】(－3，3)，(－5，－1)，.故选：A2．（2020·渝中区·高一期末）已知点，，则与反方向的单位向量为（） A．B．C．D．【答案】B【解析】，,，则，所以与反方向的单位向量为.故选：B.3．（2020·全国高一）已知向量，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为向量，，所以,故选：D4．（2020·高一期末）已知向量，，若，则实数的值为（）A．-4B．4C．-1D．1【答案】C【解析】由题意，向量，，所以，可得，解得.故选：C.考法三共线定理的坐标表示【例3-1】（多选）（2020·三亚华侨学校高一月考）已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是（）A．B．C．D．(7，9)【答案】ABC【解析】由点，，则选项A.,所以A选项正确. 选项B.,所以B选项正确.选项C.,所以C选项正确.选项D.,所以选项D不正确故选：ABC【例3-2】（2020·全国高一课时练习）已知非零向量，，，若，，且，则（）A．4B．-4C．D．【答案】D【解析】由题意知，，所以；又，，所以，解得．故选：D【例3-3】（2020·全国高一）若，，三点共线，则实数的值是（）A．6B．C．D．2【答案】B【解析】因为三点，，共线，所以,若，，三点共线，则和共线可得：，解得；故选：B【一隅三反】1．（2020·北京昌平区）下列各组向量中不平行的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】对于A，有，所以与是平行向量；对于B，有，所以与是平行向量； 对于C，是零向量，与是平行向量；对于D，不满足，所以与不是平行向量.故选：D．2．（2020·浙江杭州市·高一期末）与平行的一个向量的坐标是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若向量与向量平行，则，，则设向量，则与符号相同，与符号相反，所以可知A，B，D不成立，选项C：若，则，，，故C正确.故选：C.3．（2020·全国高一）已知，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，解得或，所以“”是“”充分不必要条件.故选：A.4．（2020·全国高一课时练习）已知向量，，若，则实数（）A．8B．C．2D．【答案】D【解析】由，，可得，，因为，所以，解得.故选：D.5．（2020·全国高一单元测试）已知向量，．若向量与平行，则＝________.【答案】【解析】向量，，所以，若向量与平行，可得，解得.故答案为:考法四向量与三角函数的综合运用 【例4-1】（2021·湖南）已知向量，，若//，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为//，故可得，故可得，又.故选：【例4-2】（2020·本溪市燕东高级中学高一月考）设向量，，．（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值；（3）若，求证：∥．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】（1）由与垂直，则，即，则．（2），，最大值为32，所以的最大值为．（3）由得，即，所以．【一隅三反】1．（2021·新疆）已知平面向量，，若，则（） A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴．故选：A．2．（2020·全国高一课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，若，则的值（）A．4B．3C．D．0【答案】C【解析】在平面直角坐标系中，向量，，，，因为，可得，即，所以.故选：C．3．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）设0≤θ