A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为( )A.B.C.D.答案 D解析 设球O的半径为r，则πr3＝23，解得r＝.2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )A.B.C．8πD.答案 C解析 设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.3．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是( )A．20πB．25πC．50πD．200π答案 C解析 因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设此三棱锥的外接球的半径为r，则有(2r)2＝32＋42＋52＝50，即4r2＝50，故它的外接球的表面积是S＝4πr2＝50π.4．如图所示，扇形的中心角为，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，若△ABO旋转得到的几何体体积为V1，弓形AB旋转得到的几何体积为V2，则V1∶V2的值为( )
A．1∶1B．2∶1C．1∶2D．1∶4答案 A解析 △AOB绕AO旋转一周得到的几何体为圆锥，体积V1＝πR3，整个扇形绕AO旋转一周得到的几何体为半球，体积V＝πR3，于是V2＝V－V1＝πR3.5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是( )A．96B．16C．24D．48答案 D解析 设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径R＝×a＝a，正三棱柱的高为a.又V球＝πR3＝×a3＝.∴a＝4.∴V柱＝×(4)2××4＝48.二、填空题6．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.答案 4解析 设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4cm.
7．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．答案 16π解析 设球O的半径为R，圆M的半径为r，由题意得r＝，又球心到圆M的距离为，由勾股定理，得R2＝r2＋2，R＝2，则球的表面积为16π.8．已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为1∶2，则该球的表面积为________．答案 36π解析 ∵两正四棱锥有公共底，且体积比为1∶2，∴它们的高之比为1∶2，设高分别为h,2h，球的半径为R，则h＋2h＝3h＝2R，∴R＝h，又∵底面边长为4，∴R2＝2＝2＋(2)2，解得h＝2，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π.三、解答题9．如图，AB是半径为R的球的直径，C为球面上一点，且∠BAC＝30°，求图中阴影区域构成的几何体的全面积及其体积．解 如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1，由题意可得∠BCA＝90°.又∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，AO1＝R，BO1＝.∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2，∴几何体的表面积为πR2.又V球＝πR3，V圆锥AO1＝AO1·πCO＝πR3，V圆锥BO1＝BO1·πCO＝πR3，∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝πR3－πR3＝πR3.B级：“四能”提升训练1．已知正三棱柱的体积为3cm3，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为________cm2.答案 12π解析 球O的表面积最小时，球O的半径R最小．设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的体积V＝a2b＝3，所以a2b＝12.底面正三角形所在截面圆的半径r＝a，则R2＝r2＋2＝＋＝×＋＝＋＝＋＋≥3＝3，当且仅当＝，即b＝2时，取等号．又因为0
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