高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 学案

第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质学习目标1.探究直线与平面垂直的性质定理,培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力.合作学习一、设计问题,创设情境如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB',CC',DD'所在直线都垂直所在的平面ABCD,它们之间具有什么位置关系?二、信息交流,揭示规律问题1:判断垂直于同一条直线的两条直线的位置关系?问题2:能否找出恰当空间模型探究垂直于同一个平面的两条直线的位置关系?问题3:用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.问题4:如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用?三、运用规律,解决问题【例1】证明垂直于同一个平面的两条直线平行.【例2】如图,已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,a⊂α,a⊥AB.求证:a∥l. 【例3】如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN⊥CD;(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.四、变式演练,深化提高1.如图,已知直线a⊥b,b⊥α,a⊄α.求证:a∥α.2.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(1)求证:BD1⊥平面B1AC;(2)求B到平面B1AC的距离.五、反思小结,观点提炼六、作业精选,巩固提高课本P74习题2.3B组第1,2题.参考答案二、问题1:如图,垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可能是:相交、平行、异面. 问题2:可找出不同的空间模型,如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB',CC',DD'所在直线都垂直于所在的平面ABCD,它们之间具有什么位置关系?棱AA',BB',CC',DD'所在直线都垂直所在的平面ABCD,它们之间互相平行.问题3:①文字语言为:垂直于同一个平面的两条直线平行,也可简记为线面垂直、线线平行.②符号语言为:⇒b∥a.③图形语言为:如图问题4:直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系,而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.三、【例1】已知a⊥α,b⊥α.求证:a∥b.证明:(反证法)如图,假定a与b不平行,且b∩α=O,作直线b',使O∈b',a∥b'.直线b'与直线b确定平面β,设α∩β=c,则O∈c.∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.∵b'∥a,∴b'⊥c.又∵O∈b,O∈b',b⊂β,b'⊂β,a∥b'显然不可能,因此b∥a.【例2】证明:⇒l⊥平面EAB.又∵a⊂α,EA⊥α,∴a⊥EA.又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.∴a∥l.【例3】解:(1)证明:取PD中点E,连接NE、AE,又N为PC中点,则NE∥CD,NE=CD.又∵AM∥CD,AM=CD, ∴AM?NE.∴四边形AMNE为平行四边形.∴MN∥AE.∵⇒CD⊥AE.即MN⊥CD.(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形,则AE⊥PD.又MN∥AE,∴MN⊥PD,又由(1)知MN⊥CD,PD∩CD=D.∴MN⊥平面PCD.四、1.证明:在直线a上取一点A,过A作b'∥b,则b'必与α相交,设交点为B,过相交直线a,b'作平面β,设α∩β=a',∵b'∥b,a⊥b,∴a⊥b'.∵b⊥α,b'∥b,∴b'⊥α.又∵a'⊂α,∴b'⊥a'.由a,b',a'都在平面β内,且b'⊥a,b'⊥a'知a∥a'.∴a∥α.2.解:(1)证明:∵AB⊥B1C,BC1⊥B1C,∴B1C⊥平面ABC1D1.又BD1⊂平面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.∵B1B⊥AC,BD⊥AC,∴AC⊥平面BB1D1D.又BD1⊂平面BB1D1D,∴AC⊥BD1.∴BD1⊥平面B1AC.(2)∵O∈BD,∴连接OB1交BD1于点E.又O∈AC,∴OB1⊂平面B1AC.∴BE⊥OE,且BE即为所求距离.∵,∴BE=·OB=a=a.五、知识总结:利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行,然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结:转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题.