高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 习题含解析

2.3.3直线与平面垂直的性质时间:30分钟，总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．(  )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【答案】C【解析】A选项两直线可以相交、异面、平行；B选项两平面可以相交、平行；C选项正确；D选项直线可能在平面内.2.一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(  )A．(0°，90°)B．[0°，90°]C．(0°，90°]D．[0°，180°]【答案】B【解析】由线面角的定义知B正确．3.下列命题正确的是(  )①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α.A．①②B．①②③C．②③④D．①②④【答案】A【解析】由性质定理可得(1)(2)正确，故选A．4.下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两平面平行．其中正确的个数是(  )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选B．5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于 (  ) A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【答案】B【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1C1，B1D1的中点，设O是AC，BD的交点，则EO⊥平面ABCD，所以EO⊥BD，又CO⊥BD，CO∩EO=O，所以BD⊥平面COE，所以BD⊥CE.故选B.6.正方体ABCD-A1B1C1D1中E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中错误的是 (  )A.AC⊥BEB.B1E∥平面ABCDC.三棱锥E-ABC的体积为定值D.B1E⊥BC1【答案】D【解析】对于A，因为在正方体中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1=D，所以AC⊥平面BB1D1D，因为BE⊂平面BB1D1D，所以AC⊥BE，所以A正确.对于B，因为B1D1∥平面ABCD，所以B1E∥平面ABCD成立，即B正确.对于C，三棱锥E-ABC的底面△ABC的面积为定值，锥体的高BB1为定值，所以锥体体积为定值，即C正确.对于D，因为D1C1⊥BC1，所以B1E⊥BC1错误.故选D.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7、线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________.【答案】4【解析】如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1， 则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4．8.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．【答案】∠A1C1B1＝90°【解析】如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)9、等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________.【答案】45°【解析】如图，设C在平面α内的射影为O点，连结AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝，∴CM＝，CO＝.∴sin∠CMO＝＝，∴∠CMO＝45°10、如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO;⑤AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角,其中正确结论的序号是       .  【答案】①②③④【解析】∵SD⊥底面ABCD,∴∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角.∵AD=CD,SD=SD,∴∠SAD=∠SCD,则③正确.∵AC⊥平面SBD,SO⊂平面SBD,∴AC⊥SO,则④正确.∵AB∥CD,∴∠SCD是AB与SC所成的角,∠SAB是DC与SA所成的角,∵△SDA≌△SDC,∴SA=SC.∵AB=CD,SB>SD,∴∠SCD≠∠SAB,则⑤不正确.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11、如图，在锥体P－ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F分别是BC，PC的中点．证明：AD⊥平面DEF. 12、如下图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.