高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 课时作业

2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质 【选题明细表】知识点、方法题号线面垂直性质的理解1、10面面垂直性质的理解3、4线面垂直性质的应用2、5、6、7、8面面垂直性质的应用9、11、12基础巩固1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是( C )(A)相交(B)异面(C)平行(D)不确定解析:因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.2.(2015临汾市曲沃二中高二期中)在空间中,a,b是不重合的直线,α,β是不重合的平面,则下列条件中可推出a∥b的是( C )(A)a⊂α,b⊂β,α∥β(B)a∥α,b⊂α(C)a⊥α,b⊥α(D)a⊥α,b⊂α解析:对于选项A,若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a与b没有公共点,即a与b平行或异面;对于选项B,若a∥α,b⊂α,则a与b没有公共点,即a与b平行或异面;对于选项C,若a⊥α,b⊥α,由线面垂直的性质定理,可得a∥b;对于选项D,若a⊥α,b⊂α,则由线面垂直的定义可得a⊥b.故选C.3.已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是( D )(A)若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β(B)若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β(C)若α⊥β,l⊂α,则l⊥β(D)若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β解析:根据面面垂直的性质定理逐一判断.选项A缺少了条件l⊂α;选项B缺少了条件α⊥β;选项C缺少了条件α∩β=m,l⊥m;选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件.故选D.4.已知平面α、β和直线m,若α⊥β,m⊥α,则( D )(A)m⊥β(B)m∥β(C)m⊂β(D)m∥β或m⊂β解析:设α∩β=l,当m与l相交时,由m⊥α可得m⊂β;当m与l不相交时,可得m∥β.故选D.5.(2015蚌埠市五河高中高二期中)如图,PA⊥矩形ABCD,下列结论中不正确的是( A ) (A)PD⊥BD     (B)PD⊥CD(C)PB⊥BC     (D)PA⊥BD解析:因为PA⊥矩形ABCD,所以PA⊥BD,若PD⊥BD,则BD⊥平面PAD,又BA⊥平面PAD,则过平面外一点有两条直线与平面垂直,不成立,故A不正确;因为PA⊥矩形ABCD,所以PA⊥CD,AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD,同理可证PB⊥BC,因为PA⊥矩形ABCD,所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.故选A.6.(2015北京市房山区高二期中)如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中点,E是PC上的点,且EF⊥BC,则=    . 解析:在三棱锥PABC中,因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,所以AB⊥平面APC.因为EF⊂平面PAC,所以EF⊥AB,因为EF⊥BC,BC∩AB=B,所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF,因为F是AC的中点,E是PC上的点,所以E是PC的中点,所以=1.答案:17.(2015高二月考)如图,在四面体ABCD中,已知DA⊥平面ABC,BC⊥平面ABD,BC=BD=2,四面体的三个面DAB、DBC、DCA面积的平方和是8,则∠ADB=    . 解析:因为DA⊥平面ABC,所以DA⊥AB,DA⊥AC.因为BC⊥平面ABD,所以BC⊥BD,BC⊥AB. 设AD=a,AB=b,则a2+b2=4,因为三个面DAB、DBC、DCA面积的平方和是8,BC=BD=2,所以（ab）2+（×2×2）2+（×a×）2=8,所以a=b=,所以∠ADB=45°.答案:45°8.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB,G为PD的中点.求证:AG⊥平面PCD.证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又因为AG⊂平面PAD,所以AG⊥CD.因为PA=AB=AD,G为PD的中点,所以AG⊥PD.又PD∩CD=D,所以AG⊥平面PCD.能力提升9.(2015运城市康杰中学高二期中)如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,则下列说法中不正确的是( D )(A)平面ACD⊥平面ABD(B)AB⊥CD(C)平面ABC⊥平面ACD(D)AB∥平面ABC解析:因为BD⊥CD,平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD,因为CD⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABD,故A正确;因为平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,所以AB⊥AD,又CD⊥平面ABD,所以AB⊥CD,故B正确;因为AB⊥平面ACD,AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD,故C正确; 因为AB⊂平面ABC,所以AB∥平面ABC不成立,故D错误.故选D.10.(2015宿州市高二期中)设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列命题:①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.上述命题中,其中假命题的序号是    . 解析:①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行,故①不正确;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;④若m⊥α,n⊥α,由直线垂直于平面的性质定理知m∥n,故④正确.答案:①③11.如图,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)求证:AE∥平面BCD;(2)求证:平面BDE⊥平面CDE.证明:(1)取BC的中点M,连接DM,因为BD=CD,且BD⊥CD,BC=2,所以DM=1,DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC,所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD,DM⊂平面BCD,所以AE∥平面BCD.(2)由(1)已证AE∥DM,又AE=1,DM=1,所以四边形DMAE是平行四边形,所以DE∥AM.连接AM,易证AM⊥BC,因为平面BCD⊥平面ABC,所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,所以DE⊥CD.因为BD⊥CD,BD∩DE=D,所以CD⊥平面BDE. 因为CD⊂平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE.探究创新12.如图,在△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF∥平面ABC;(2)求证:平面EBC⊥平面ACD;(3)求几何体ADEBC的体积V.(1)证明:如图,取BE的中点H,连接HF,GH.因为G,F分别是EC和BD的中点,所以HG∥BC,HF∥DE.又因为四边形ABED为正方形,所以DE∥AB,从而HF∥AB.所以HF∥平面ABC,HG∥平面ABC.又因为GH∩HF=H,所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC.(2)证明:因为四边形ABED为正方形,所以EB⊥AB.又因为平面ABED⊥平面ABC,所以BE⊥平面ABC.所以BE⊥AC.又因为CA2+CB2=AB2,所以AC⊥BC.又因为BE∩BC=B,所以AC⊥平面EBC.又因为AC⊂平面ACD,从而平面EBC⊥平面ACD.(3)解:取AB的中点N,连接CN,因为AC=BC,所以CN⊥AB,且CN=AB=a.又平面ABED⊥平面ABC,所以CN⊥平面ABED.因为CABED是四棱锥,所以=S四边形ABED·CN =a2·a=a3.即几何体ADEBC的体积V=a3.