直线、平面垂直的判定及其性质课件

线、面垂直的判定及性质 一、三垂线定理和三垂线定理的逆定理三垂线定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.AaOP已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO，则a⊥PO 一、三垂线定理和三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.AaOP已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO，则a⊥AO 例1、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求证：A1B⊥B1C证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥B1A1连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C∴在直三棱柱ABC—A1B1C1中，C1D1⊥面ABB1A1三垂线定理的逆定理三垂线定理D1D 一、直线与平面垂直的判定1、如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。（定义）2、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。（判定定理）3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面。 例3、如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证；MN∥平面PAD(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD. 二、直线与平面垂直的性质1、如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直.2、如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 三、两个平面垂直的判定1、根据定义．证明两平面所成的二面角是直二面角．2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．（判定定理） 例5、如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA.求证平面PMD⊥平面PBD. 例6、如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.（1）求证：DP⊥面EPC；（2）问在EP上是否存在点F使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出的值.F （2）解如图所示，假设存在F使平面AFD⊥平面BFC，∵AD∥BC，∴AD∥平面BFC，∴AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l.∵EP⊥平面ABCD,∴EP⊥AD,而AD⊥AB,∴AD⊥平面EAB,∴l⊥平面FAB,∴∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角,∵P是AB中点,且FP⊥AB,∴当∠AFB=90°时，FP=AP，∴当FP=AP，即=1时，平面AFD⊥平面BFC.F 例7、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，且PA=AD=DC=AB=1,（1）证明：面PAC⊥面PCB；（2）求AC与PB所成的角；(3)求二面角M-AC-P的余弦值M是PB的中点. 四、两个平面垂直的性质如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． O