《直线与平面垂直的判定》教学设计图表式

《直线与平面垂直的判定》教学设计(图表式) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《直线与平面垂直的判定》教学设计课题直线与平面垂直的判定课型新课课时第一课时教材分析本节课是在学习者学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其初步应用。其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁。（如图）直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了。直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。本节学习内容蕴含了“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。 教学目标1)知识与技能：借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，使学习者正确理解直线与平面垂直的定义，同时归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用定义和判定定理；通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。2)过程与方法：在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，初步培养学习者的几何直观能力和抽象概括能力感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想。3)情感、态度、价值观：通过学习使学习者在认识到数学源于生活的同时，培养学习者的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳；发展学习者的合情推理能力和空间想象力，培养学习者的质疑思辨、创新的精神；让学习者亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，养成主动探究的习惯，增强学习数学的兴趣。教学重难点【教学重点】操作确认并概括出直线与平面垂直的定义、判定定理。【教学难点】探究直线与平面垂直的判定定理，体会定义和定理中所包含的转化思想。教学方法（1）启发式教学（2）多媒体辅助教学（3）探究式教学 教学环节教学过程师生活动设计意图一、复习回顾（1）直线和平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面垂直（2）直线和平面平行的判定定理：教师提问，学生一起回答，并演示PPT，题写板书通过回顾旧知识，感悟新知识之间的联系二、创设情境，感知概念(1)判断：平面外一条直线与此平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面垂直？ACB1C1（2）展示图片：①让同学们观察图片，说出旗杆与地面、柱子与地面的位置有什么关系？请同学们将图片中旗杆与影子、柱子与影子的关系ⅰ）阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？ⅱ)随着太阳的移动,影子的位置也会移动,而旗杆与影子所成的角度是否发生改变?让学习者发现旗杆所在直线始终与地面上任意一条直线垂直线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背，因此，在教学中，先安排学生课前收集大量图片进行感知，然后再通过多媒体课件演示，设计这样的问题情景贴近学生生活，使得学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，为归纳出直线与平面垂直的概念作准备。 三、思考问题，引出定义思考1、平面外一条直线与此平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面垂直？思考2、如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？思考3、一条直线与一平面垂直的特征是什么？结论：一条直线与一平面垂直的特征是直线垂直于平面内的任意一条直线．通过对于旗杆和影子的位置关系问题，得出结论。同时消除“无数条直线”和“任意一条直线”的差别定义中的任意一条直线为所有直线，与无数条直线不同四、给出定义，解释定义直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α。其中直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足。即：注意：1.定义中的任意一条直线为所有直线，但与无数条直线不同2.直线和平面垂直只是相交的一种特殊形式3.直线和平面垂直的定义简称线面垂直，则线线垂直解释定义，给学生概念。解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质。让学习者进一步从文字语言、符号语言、图形语言三个方面对直线与平面垂直的定义进行深入地理解。 a是α内任一条直线判定直线L和平面α垂直的方法:根据定义让同学们拿出教材书来，让同学们实践怎样保持书直立于桌面，判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．作用：判断直线与平面垂直思想：线线垂直线面垂直（空间问题转化为平面问题）让同学们拿出教材书来，让同学们实践怎样保持书直立于桌面，学生动手实践，发现规律，做出猜想是否直线与两条相交直线垂直，则线面垂直。再通过三角形的折叠来得出结论。通过这组问题想让学生认识到判断直线与平面的垂直用定义很难做到所以我们有必要寻找更为简便可行的方法来判断直线与平面的垂直，于是就想到要减少直线的条数从而引出直线与平面的垂直判定定理的探索。让学习者明白要判定线面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。 直线与平面垂直的判定定理的探究（2）动手实验——确认定理【折纸实验】过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？若不过顶点A翻折纸片呢DCABDBAClαmnpαBACCAB如图，如果保证，但是不经过和的交点，你认为直线还垂直于平面吗？线面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的学习者在折纸过程中可能会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学习者进行交流，分析“不垂直”的原因，通过交流得到当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才站立着，从而发现垂直的条件——折痕AD是BC边上的高。由于《课程标准》中不要求证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理。因而在探索直线与平面垂直判定定理的过程中，安排学习者动手实验、讨论交流，引导学习者对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，并通过问题让学习者真正体会到知识产生的过程，有利于发展学习者的合情推理能力和空间想象能力。三角形纸片的折叠体现了有限与无限的相互转化，既有合情推理能力也有逻辑推理。让学习者明白要判定线面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。 直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。lαmnp用符号语言表示为：作用：判断直线与平面垂直问题：与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?　　思想：无限有限转化线线垂直线面垂直（空间问题平面化）让学习者体会“无限转化为有限”和“空间问题平面化”的数学思想。 三、直线与平面垂直判定定理及应用ab\bαmn例1．如右图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α．例2已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD'证明：连接BD因为正方体ABCD-A'B'C'D'所以DD‘⊥平面ABCD又因为所以因为AC、BD为对角线所以AC⊥BD因为DD'∩BD=D所以AC⊥平面D'DB所以AC⊥BD'培养学习者的逻辑推理能力和规范书写的能力。学习者先尝试去做并板演，师生共同评析，帮助学习者明确运用定理时的具体步骤，同时，展示了线面垂直的枢纽作用，进一步提高转化和综合运用知识能力。 四、总结反思——提高认识（1）通过学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？以问题讨论的方式进行小结，通过小结使本节课的知识系统化，使学习者深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学习者养成认真总结的学习习惯和反思的习惯，使学习者在知识、能力、情感三个维度得到提高。五、作业设计PABCD课外作业：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.。课后探究：直线与平面不垂直时情况又该怎么讨论呢？请大家预习下一课时《直线和平面所成的角》