“直线与平面垂直的判定”的教学实践与反思

“直线与平面垂直的判定”的教学实践与反思（一）“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计研究”课题组在黄岩屮学召开了第四次研讨会。会前指定了五位教师根据“中学数学核心概念、思想方法教学设计框架结构（试行稿）”，以“直线与平面垂育的判定”和“算法的概念”为题，进行精心的教学设计，有的设计还经过集体讨论。研讨会上，先由五位教师上课（实施教学设计），然后课题组以教学设计实施过程为载体，分析和评价教学过稈，并反馈到教学设计环节，提出改进教学设计的方案。“肓线与平面垂育的判定”由三位老师执教。我们采取比较的方式，在分阶段冋顾三堂课的基础上，对教学设计和实施进行反思。在不改变原意的前提下，我们对教师的语言作了适当精简。1.课题的引入三位教师采用了各不相同的引入方式。1.1教师甲的引入师：同学们，空间一条肓线与平面有哪几种位置关系？学生1:边演示边叙述，得到育线与平面的三种位叠关系。师：直线在平瓯内、直线与平面平行己研究过，直线与平面相交的位置关系成为今天要研究的问题。在口常生活屮，你见过哪些可以抽象成育线与平面相交的位置关系（的形象）？请举例说明。学生：口光灯的m线与天花板相交；房子的柱了与天花板相交；插在碗里的筷子与（平的）碗底相交。师：同学们想像力非常丰富。在生活屮确实有许多可以抽彖成育线与平面相交的例了。再比如，教室屮的墙角线（两个墙血的交线）与地面。（展示图片）小区屮的某些建筑、撑船师傅的竹竿与水平面都给我们以胃线与平面相交的形象。古诗词屮描写某些自然景观，如“大漠孤烟直”，“一行白鹭上青天”的诗句，这些都给我们以育线与平面相交的形象。（展示操场上的旗杆图片）旗杆与地面所在的平面也相交。在育线与平面相交的模型屮（位置关系屮），你认为哪种相交最特殊？生：肓线与平面垂肓。师：今天我们就来研究这种关系（板书出示课题）。1.2教师乙的引入师：（用ppt呈现龙卷风图片）同学们刚进教室就看到这样一幅羌丽的图tai,我不禁想到唐代诗人干-维的诗句“大漠孤烟直”。在广袤无垠的沙漠上一股炊烟冲天而起给沙漠带来无限生机。欣赏这一美妙画面Z后是否想到立体几何屮什么与什么的关系。生：（齐声）线与瓯垂直。 师：线与面垂直，很好。说明同学们既有丰富的想像力又有很好的理性思维。请想一想在LI常生活屮,行没有这种线与面垂胃的其他例了。 生：看电视时，视线与tai面；电线竿胃立与地面垂肓。师：这样的例了很多，比如大桥桥柱与水面。正是因为生活屮有许多线与面垂直关系，所以，在几何里血有必要对线面垂玄做进一步研究。这堂课就来学习直线与平面垂直（板书出示课题）。1.3教师丙的引入师：前面我们研究了肓线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究肓线与平面的其他位置关系。展示天安门广场上的国旗及旗杆。这里先请大家看一幅图片，天安门广场的红旗迎风飘扬。再看另一张图片，一桥飞架南北，天堑变通途。请大家冋答下面问题。问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地血、大桥桥柱与水血是什么位置关系？生众：垂直。师：从数学的角度看，就是什么与什么的垂育。生众：线与面。师：你还能举岀一些类似的例了吗？想一想（教师同时出示课题）。生1：音箱的边缘与地面；生2：立竿见影，竿与地面垂育。X\7\图1教师又展示跨栏与跳高架的图片，说明跨栏的支架与地面、跳高架立竿与地面是垂真关系。请大家将旗杆与地面这种位置关系砸出相应的几何图形。学生画图。教师在黑板上画出图1。师：为什么画成这样呢？这样直观性强，将直线画得与表示平面的平行四边形的一-边垂直。师：接着前面内容的学习，下面我们要学习直线与平面垂有•的定义、判定与性质。1.4不同引入方式的比较与思考应当说，三位教师的引入各有特色。教师甲在直线与平面位置关系的系统屮，以“在这些相交关系屮，你认为哪种相交最特殊？”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想彖和语言叙述。这一设计的特点是:注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用。这样容易唤起在“直线与平面平行”的学习中形成的经验，从而明确“研究什么”和“怎样研究”,使学习的自觉性得到提高。教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何屮的什么与什么的关系”，由于“诱导”过分明显， 学生就不假思索地齐声冋答“线面垂直”。虽然有示面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成。 虽然这一引入有单刀肓入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等很难觉察到。另外，“线血垂直”的说法不好，至少出得太早。另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直”的情景不能很好地反映当前学习内容的木质，不是一个好情景。教师丙的引导语：“前面我们研究了肓线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究肓线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是直指“要研究直线与平面垂直”。这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么”“为什么要学”和“如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然。良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。教学设计屮，应当重点考虑：如何利用新I口知识的联系与发展，以及学生相关的生活经验，创设问题情境，以H然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入屮融入"学什么、为什么、怎么学”的成分。1.定义的形成过程2.1教师甲的教学过程师：怎样给直线与平面垂直下定义呢？请同学们I叫忆直线与直线垂直是如何定义的？生：直线与直线成90°,称这两条直线互相垂直。师：两条肓线垂肓可以分为两条肓线“相交垂：H”和“异面垂肓”。而“异面垂直”是转化为“相交垂肓”来研究的，实际上是把空间问题转化为平面问题。按照这样的思路能否将“线面垂直”的问题转化为“线线垂育”的问题呢？请大家结合对下列问题的思考给出育线与平面垂直的定义。（结合图片）阳光下，一条旗杆与它在地血上的影子BC所成的角度是多少度呢？（图2,生众：90°）。图2师：旗杆所在的直线与影了所在的宜线相互垂肓。那么，随着太阳的移动影了也会发生移动，在这个过程屮，旗杆所在的直线与影了所在的直线位置关系是否会发生变化？（生众：不会。）ffi：那么，说明旗杆"所在的玄线与地血上任意一条过B的直线始终垂直。平血上不过点B的直线是否与旗杆MB也垂克呢？（生众：垂宜。）师：为什么？ 生：把3C］平移过去（经过点B）,存在一条过B的影了与旗师：很好。这说明，地面上与不经过点B的其他育线也是垂直的。也说明，旗杆所在的育线与地面上任意一条直线都垂直。那么，你能用语言来概括玄线与平面垂直的定义吗？生：如果一条直线与平面内的任意一条直线祁垂直，那么，我们就说这条直线与平面是互相垂直。师：很好。我们借用“线线垂直”来定义“线血垂直”。教师用幻灯片显示直线与平面垂直的定义，要求学生用图形语言、符号语言表示肓线与平面垂肓关系。2.2教师乙的教学过程师：研究宜线与平面垂直，我们首先要弄清：到底怎样才算直线与平面垂育呢？（开、闭教室的门）问：“在门打开的过程中，门轴与接近地血的这条边保持什么关系？”生众：垂直。又通过教具说明旗杆与地面上的影了保持垂直。门边与下面的（不同位置的）边缘、旗杆与（不同位置的）影了都是相交的。（借助教具）在平血内，有的直线与旗杆不相交，它和旗杆是否也是垂直关系？生众：是的。师：为什么？我们可以将它平移到过旗杆的根部。这就为我们提供了线面垂直的定义。板书线面垂直的定义，给出画法以及垂线、垂面、垂足的意义。“直线与平面垂直的判定”的教学实践与反思（二）2.3教师丙的教学过程师：接下去，我们要研究肓线与平面垂肓的定义、判定和性质。首先我们看肓线与平面垂肓的定义。展示图片，提出思考题：如何定义一条育线和一个平面垂直？在我们前血学习的“线面平行”的位置关系中，我们将“线面平行”关系转化为“线线平行”这样的位置关系考查，体现了“平面化”和“降维”的思想。现在我们要研究直线与平面垂直，也可以将它转化为直线与平面内的直线的位置关系问题。下面来看问题2（PPT显示）：（1）如图2,阳光下，观察肓立于地面的旗+T-AB及它在地面上的影了BC,旗杆所在的貞线与影了所在的育线有什么位置关系？（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的肓线g有什么位置关系？演示在不同时刻时，旗杆所在直线与影子所在育线的位置关系。生众：垂直。师：旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线a垂肓，能说说理由吗？生：将直线g平移到与MB相交。师：这就体现将两条异面直线的问题转化为共血直线的问题。直线Q是平面。内的任意一条，由此可以 得到什么结论呢?生：如果一条直线与平面垂直，那么这条直线与平面内的任意一条育线都垂直。显示问题3：通过上述观察分析，你认为应该如何定义玄线/与平面。垂宜？生：如果直线/与平面。内的任意一条直线祁垂直，那么直线/垂直于平面教师：板书育线与平面垂育•的定义。并辨析“任意一条”是否可以换成“无数条”。2.4不同教学过程的比较与思考本环节涉及如下几个问题：定义的教学时间、典型实例的使用特别是提出什么问题、概括定义的过程屮师生活动的安排、数学思想方法的渗透、定义辨析活动的内容和过稈等。（1）关于定义的得出过程教师甲注意利用学生已有的知识基础、生活经验，并注意研究方法的引导。把“异面直线垂肓”转化为“相交直线垂直”是可以借鉴的经验，教师通过提示，不仅引导了思考方向，而且也渗透了类比、化归、降维等数学思想方法。怎样的“线线垂直”可以导致“线面垂直”？教师构建了“旗杆与变动的影了的关系”的情景，在学生得出“旗杆与变动的影子都垂育”Z后，提问“地血上不是影子的肓线是否与旗杆也垂直”？学生由“异血岚线垂直”转化为“相交直线垂直”的经验，采用平移的方法（空间问题化归为平面问题的最常用方法），得出“也垂:H”的结论。在充分认知“旗杆和地面上任意一条直线都垂直”Z后，再给肓线与平瓯垂直下定义就比较自然了。这一过程既是学生对定义的充分感知过程，也是体会定义合理性的过程。在教师甲的教学中，一开始让学生I川忆直线与直线垂直的定义是一个不恰当的环节，因为它容易把学生的思路引到“当直线与平面成90。时,直线与平面垂直”。虽然可以再追问“如何刻画直线与平面成90°”,但这是一个学生“够不着”的问题。所以，岚接让学生冋忆直线与直线垂直的研究方法更好，因为它是与木节内容真接相关的知识“生长点”。教师丙也注意到思想方法的引导。冋顾“线面平行”位置关系研究屮曾将“线面平行”关系转化为“线线平行”，体现了“平面化”和“降维”的思想，并指出“要研究直线与平面垂宜，也可以转化为育线与平面内的直线垂直的问题。”然后也利用了“旗杆与影子的关系”这一情景，引导学生感知直线与平面垂直的特征,并让学生H己下定义。教师乙的过程比较简单。由教师自己举出肓线与平面垂頁•的实际事例（“门轴问题”与“旗杆问题”），由教师白己指明可以将其他育线平移到过旗杆底部的位置。因为采用了“告诉”的方法进行定义教学，因此很快（约3分钟）完成肓线与平面垂直的定义。显然，这样的教学大大压缩了定义的形成过稈，定义过稈屮体现的数学思想方法没有得到挖掘，学生的 生活经验、已有知识的作用都没有得到充分发挥，概念的概括过稈不充分，知识Z间的联系性也建立的不牢 固。特别是，学生的思维停留在模仿、机械记忆的层次上，自主性得不到发挥。实际上，教师在提出“到底怎样才算直线与平血垂直呢?”以后,应该让学生谈谈自己对“直线与平面垂直”的直观感受,通过例子说明玄线与平面垂育的内涵，让他们参与到概念的概括过程屮来。与其它两位老师比较，教师乙在引导学生感知岚线与平面垂直关系特征时所用的时间较少。这一现象有代表性，即当前的数学课堂屮，教师不舍得在概念、定义的发生发展过程上花时间，认为这样“太虚”，不如让学生多做几个题目实在。因而概念教学常常用“一个定义三项注意”的方式，告诉学生定义的内容，强调几个注意事项（例如，这里强调“耍注意，必须是'任意'的”），然后就讲例题、做练习。实践表明，这样的教学是得不偿失的，对学生把握和应用概念都产生了不利影响，因为在学生没有基木把握概念内涵的时候就要求学生用概念解决问题，结果只能是机械模仿，不可能有理想的解题质量和效率。（2）关于定义的辨析过程在讨论定义的过程屮，教科书安排了一个“思考：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？”并在“边空”提出“如果一条直线垂直于一个平面内的无数条肓线，那么这条宜线是否垂育于这个平面？”其H的是用以辨析育线与平血垂育的内涵，使学生形成正确的育线与平面垂育的概念。几位教师对这一问题的处理不尽相同。定义形成后，教师甲提问：定义中的“任意一条”能否用“无数条”替换？这个问题接连几个学生都不能冋答。教师提示可以举反例，学生也未能举出。这说明学生对定义的内涵仍没有完全把握，定义形成的过稈并不够完善。教师乙在直线与平面垂直的判定定理出现Z后作为练习提出：我们知道，一-条育线与平面垂直，则这条真线与平面的任意一条直线都垂岚。那么，如果一条真线与平面不垂直，是不是这条育•线与平面内的育线都不垂直?教师丙放在定义形成Z后,辨析“任意一条”与“无数条”问题，从而引入一条直线与平面垂直需要怎样的两条，为判定定理的引出服务。虽然定义的理解需要一个过程,在后续学习中应当安排回顾、辨析的机会,但是定义的教学必须安排辨析过稈。所以，教师乙的定义教学过稈是不全面的。另外，儿位教师安排的辨析过稈都不充分。（3）总体分析从上述教学过程可以看到，利川典型事例引导学生直观感知直线与平面垂直的特征，然麻概括得出定义,再对定义进行辨析，是教学的基木坏节。其屮，教师的教学行为对学生把握概念的内涵有关键性影响。这里具体表现在两方血：第一，例了由谁来举。我们看到，三位教师都白己先举例。实际上，如果先让学生举例，并说说白己理解 平面垂肓的含义”，然示教师杳漏补缺，引导学生概括出概念，这样做的话，学生不仅有充分的肓观感知活动合情推理、逻辑思维的机会，学生対概念木质的把握白然就更深刻了。我们常常听到教师抱怨“直观感知、操几何课不好上，学生的活动难安排，削弱了逻辑思维，但从上面的讨论可以看到，关键还是教师的教学行为殳第二，定义的辨析如何安排。屮学数学屮的定义一般都是“充分必要条件”，对定义的辨析，一方面是对“关键词”的辨析，也就是对内涵的理解，例如能否把“任意”换成“无数”；另一方面就是从“充分必要条件”述行辨析，这里要设法让学生关注“如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内的所有（或任意一条）直线是否都垂直？”和“如果直线/与平面a内的所有（任意一条）肓线垂育，能断定这条肓线与平瓯垂玄吗？”显然，三位老师在教学设计屮，只关注了前一方面，因此对定义的辨析不全面。1.判定定理的教学图3图4“课标”要求“通过直观感知、操作确认，归纳出肓线与平面垂肓的判定定理”。为此，教科书安排了“探究：请同学们用一块三角形纸片做实验：如图3,过△MC的顶点/翻折纸片，得到折痕将翻折麻的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）。（1）折痕/D与桌面垂玄吗？（2）如何翻折才能使得折痕初与桌面所在平面。垂直？”经过实验学生会明白，问题（1）的答案是“不一定”；也正是因为"不一定”，所以要冋答问题（2）“如何翻折”，这正是判定直线与平面垂直的要件。接着，教科书又设置了“思考：（1）有人说，折痕所在的直线与桌血所在平面a上的一条直线垂直，就可以判断AD®直平面S你同意他的说法吗?（2）如图4,由折痕应＞丄BC,翻折之后垂直关系不变,即/D丄CD,/D丄BD,由此你能得到什么结论？”这个活动的安排也体现了学生在操作屮辨析、思考折纸过程的数学木质，操作结果体现的几何要素（线、面）的相互关系。因此，“操作确认”屮不仅有合情推理的要求，也有逻笹推理的要求，数学思维活动更全面了。三位教师对“实验”“思考”有不同的处理。3.1教师甲的处理师：“定义”通常可以作为判定的依据。如果用“定义”判定肓线是否与平面垂肓，你们说方便不方便？——生众：不方便。 师：不方便在哪里？——生众：任意一条（难穷尽）。师：要检验一条直线与平面内每一条直线都垂直很难做到，所以，我们有必要寻找更为简便可行的方法来判定肓线是否与平血垂胃。于是，就想到要减少玄线的条数，故理想的是减少到一条。“一条胃线与平血内的一条宜线垂直，这条直线就与这个平面垂直”可以吗？——生众：不可以。师：可以减少到儿条呢？——生众：两条。师：（仍注意从思考方法上引导）请大家拿出三角形纸片，我们来做实验。（教师边演示边说明如何做实验）任意翻折得到一条折痕，然后把纸片竖立放在桌面上，下面的两条边紧贴桌面，观察折痕是否与桌面垂直？学生活动，教师巡视。生：不垂直。师：为什么你认为这条折痕与桌面不垂直呢？生：这条育线与桌瓯所成的角不是90°o（涉及未定义的“直线与平面所成角”概念，教师引导不当，使学生的观察指向不明，说明实验的bl的——要解决什么问题不太明确。）图5图6师：（替学生解释）他的意思是这条折痕与这条边（BC）不成90°。因为真线与平面垂宜意味着这条貞线与平面内的任意一条育线都垂肓。那么怎样翻折才能使这条折痕与桌面垂直？学生继续活动。教师巡视，看到一位学生以BC上的高为折痕，拿过来展示，并帮助学生解释，这是使折后下面的两边重合（图5）；看到另一位学生以图6的方式翻折，也拿过来展示，并帮助学生解释，折痕ED与BC垂直。（这里，教师给出折法的解特是不当的，应当让学生自己解释。）师：你认为，使折痕与桌面所在的平面垂肓的关键因素或这两种折法的共同特征是什么？生：AD丄CD,SD丄BD°师：你为什么认为它们是垂育的？生：下面两条边（指DB,DC）重合。师：“重合”为什么就说明肓线/1D丄CD,丄呢？生：180°的一半是90°o师：我们如果把折痕抽象成一条肓线，把下面的两条边也抽彖成两条直线，那么，你认为直线/与平面Q 生：一条直线如果与平血内的两条相交玄线都垂直，那么这条玄线与这个平面垂直（图7）。师：（展示图8）直线/不经过直线加，〃的交点，但是仍然保证/丄I丄弘是否也有/丄a?学生用“可以平移”说明结论成立。师：只要保持与平面内的两条相交直线垂直就可以了，至于是否与这两条直线行没有公共点没有关系。你能给出育线与平血垂玄的判定定理吗？生：一条右•线与平面内的两条相交育线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。教师板书判定定理，说明判定定理只要求平面内有两条相交頁•线与该肓线垂肓即可，比定义要方便得多。点出关键Z处“线不在多，相交就行”。指出川定义判定頁线和平面垂頁与用判定定理判定育线和平面垂直的共同点都是由“线线垂肓”得到“线血垂玄”，这是空间问题转化为平面问题的思想方法。“直线与平面垂直的判定”的教学实践与反思（三）3.2教师乙的处理师：我们要考杳一条直线与一个平面垂玄就要考查这条直线与平面内的直线是否垂直，但是平血内的直线有无数多条，我们不可能对无穷多的直线是否与这条直线垂直做一一验证，怎么办？——生众：任意取一条。师：同学们看，这条肓线不与平面垂真吧（教师用教具演示，表示平面的一条斜线），但我在这个平面内任意取一条，与这条直线（平血的斜线）垂直，这条育线与平面并不垂育。因为前面学习过平面与平面平行的判定，平血外的一条肓线只要与平面内的一条直线平行，那么这条直线就与平面平行，因此，这个同学的想法可能受这个定理的影响。一条直线不行，我们来考虑两条。如果平面内的两条育•线是平行的，都与这条岚线垂直，还是不能保证这条真线与平面垂頁吧，那么我们就考虑两条相交的育线。我这里有一个三角形的纸片，这样折一下（折痕不垂育于底边），然后把折后的纸片放在桌面上，这条折痕与平面是什么关系？垂直吗？——生众：不垂直。师：你有没有办法将三角形纸片折一下，使折后放在桌面上折痕与桌面垂直呢？同学们试验一下。图9 学生活动，教师巡视。提问一学生：“你是怎么折的？”生：作一条高线，沿着高线折（图9）。师：这就为我们判定直线与平血垂育提供了依据。由于高线/D与边BC垂直，翻折后折痕力D仍然与底边所分成的两部分DB,DC保持垂直，同时/D与BD,DC都相交，BD与DC也相交。如果与DC是相交的，另外一条肓线与它们不是相交的，能不能保证这条肓线与平面a垂肓？——生众：能。师：可以把它们平移成为前一种情形。这就为我们判定育线与平瓯垂育提供了一个依据。板书直线与平面垂直的判定定理。3.3教师丙的处理师：我们如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂肓？（展示操场上旗杆的图片）——生：用定义。师：用定义，我们就要判断旗杆是否与平面内的任意一条宜线祁垂直，能做到吗？——生：不能。师：为什么不能？——生：直线的条数是无限的。师：但人的生命是有限的。我们现在不能用定义来解决这个问题，我们来寻找新的办法。首先要解决这个“无限”的问题。就是要转化为“有限”。有限的情况至少是儿条？——生众：两条。师：两条就行吗？——生众：要相交。师：平行不行。下面考杳相交的情形。（展示跨栏及跳高架图片）问：观察跨栏、简易木架等实物，你认为其竖杆能竖氏立于地血的原因是什么？由此你能得出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？生：因为跨栏的支柱与地血上的两条直线垂直。师：制作跨栏时，支柱与放在地面上的两条横边都是垂育的。你能由此得到判断育线与平面垂育的方法吗？生：如果一条育线与平面内的两条相交育线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。师：板书定理。定理屮特别要注意的地方在哪里？生：两条，相交。师：育线与平面上的育线不相交呢？生：平移。 3.4不同处理方法的比较与思考教师甲的教学过程可以概括为：感受用定义作判断不方便，引起探索判定定理的需要一一讨论平面内的肓线减到多少条才合适——折纸实验——讨论不同折法的共同特点——变式（任意两条相交直线）一一获得判定定理——辨析定理。教学过稈设计比较合理，体现了“直观感知，操作确认”的认知过稈。比较遗憾的是，第一，折纸活动屮对操作、观察的目的强调不够，没有明确提出“折纸结果所反映的数学木质是什么？”的思考任务，因此“感知”“确认”不充分，直接影响了活动的数学思维层次；第二，没有给学生自己解释折纸方法的理由和自主辨析定理的机会，采取了代替学生说明理由、“告诉”学生注意事项的做法，这也损害了推理能力（包括逻辑推理能力）的培养。教师乙的教学设计也有“引起探索判定定理的需要——折纸活动——得出定理”的过程，但在教学时基木采取了“我讲你听”的方式，特别是在学生提出“作一条高线，沿着高线折”时，没有要求学生概括这样做的木质，而是教师自己提出“这就为我们判定貞线与平面垂直提供了依据……”，从而使折纸活动的意义大打折扣。我们认为，这是对教科书设置“探究”的意义未能充分理解的表现，结果是学生的活动不充分，“有观感知，操作确认”未落实，教学目标的达成度也就较低了。教师丙没有采纳教科书设置的“探究”活动，变“直观感知，操作确认”为观察教师提供的图片，并经过教师讲解而“观察确认”，因此很快得出判定定理。在给出判定定理后，教师安排学生折纸，这就使“折纸活动”成为验证判定定理的过程。由于没有“操作”这一环节，因此学生对定理的感知很不充分，对判定定理的必要体验没有建立起來。另外，“操作确认”得岀的结论作为定理是需要证明的。在得到判定定理后，教师应当说明“这个定理需要证明！在后续的学习屮会给出证明。”总Z,在三位教师的教学设计屮，对判定定理的“直观感知，操作确认”都是有安排的。但是由于课堂屮没有让学生充分展开思维活动，特别是没有充分挖掘“折纸”活动的数学内涵，没有明确折纸的目的、“观察”的角度、“确认”的途径等，导致学生缺乏从折纸结果概括判定定理的思维过程，因此而极大降低了本节课的数学思维水平。1.课本例2的教学教科书在得出判定定理后，安排了例2：如图10,已知。〃伉。丄么，求证方丄仏这是判定定理的一个典型丿应用题，以往教科书把它处理成一个定理。 图10图11 4.1教师甲的教学师：怎样证明它？证明b垂直于平血a只要怎么样？（这样的问题指向是非常不明确的。）生：在平曲a内曲两条相交直线，证明直线b与它们垂育就行。教师与该生边议论边板书证明过程。师：能否用定义来证明呢？只要画一条，但必须说明这是平面a内的任意一条。4.2教师乙的教学教师岀示例2,自己读题忖，很快（22秒钟以后）提问一位同学。这位同学正确地解答了问题（在平面a内画出两条相交直线加，“）。师：很好。如何证明直线b丄a?根据判定定理，只要在平面a内找两条相交肓线；如果根据定义的话，找平面g内任意一直线都与直线〃垂直……教师给同学讲解、分析，板书解答，同学们抬头观看。4.3教师丙的教学教师先让学生板演“求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂育。”的证明过程，然后提出例2o教师并没有急于白己作出分析，而是让学生先做一做。学生做的过稈屮教师巡视，然后提问一名学生。学生给出了正确解答后，教师归纳：她是先由“线面垂直”得到“线线垂：H”，再由线线平行传递“线线垂肓”，再由判定定理得到“线面垂育”。还有其他证明方法吗？••••••师：除了用判定定理证明，我们再看一下用定义证明。按照定义，貝要垂直于平面屮的任意一条直线。能不能证明？生：因为a丄心所以。垂肓于平面a内的任意一条肓线。因为b//a,所以b垂肓于平面a内的任意一条直线。4.4不同处理方法的分析与思考如果我们能够重视对问题的条件的分析，做到“由已知想可知”，学生不难想到刚学习过的定义。由丄刃'可以得到肓线a垂岚于平面a内的任意一条直线。再对结论分析，要证明b丄a,只要证明〃垂直于平面a内的两条相交肓线就可以了（这是判定定理的肓接应用），这样想到在平面a内曲出两条相交肓线mn作为辅助直线显得十分自然。而且还会想到这个问题的证明方法有两种。教会学生思考，培养良好的解题习惯是解题教学的重要任务。不仅教会学生解决问题，更要教会学生研究问题。教师屮教学的重心放在解决问题得到答案上，缺少分析问题的过稈，也缺少对解决问题过稈屮的思维挖 掘。教师“引导”多、细、强，学生只能被教师“牵”着走，独立思考空间很小，只要冋答“是”与“不是”,表面热热闹闹，实际与注入使教学毫无二致，对学生思维的限制极大。教师提出问题示应该让学生想一想，问题要具有一定的挑战性，要给学生思维的时间和空间。如果学生有困难，教师再在揭示条件的木质、转化结论的形式、建立条件和结论的联系等方面给予适当的引导。教师乙提出例2后，白己读完题目，仅22秒后就提问一位同学，在学生给出正确冋答后教师再来议论“如何证明貞线方丄Q”，显然，这样的教学有些“木末倒置”。事实上，学生给出正确答案时，教师应当反问：“你是怎么想到的？”“其他同学还有不同想法（证法）吗？”引导学生开展交流，把教学的重心放在思维过程的挖掘上，而不是教师再重复学生的证明过程。教师丙的例题教学组织得比较恰当。在提出例2后，他没有急于自己作出分析和解答，而是让学生先做一做（先尝试一下）。在学生解题的过稈屮，教师巡视、指导，然后提问一名学生，让他谈谈解法。当然，如果能在这位学生叙述了自己的解法后，再追问一下“是怎么想到的？”“其他同学还有想法吗？”而不是教师“帮助”学生总结解题思路，教师提出“还可以用定义来证明”，那就能取得更好的教学效果。实际上，像这样比较简单的例题教学，一般应当让学生先解答（可以让几个学生同时板演），学生解完后进行交流。学生力所能及的事应该让学生白己去做，从而给学生提供更多的发展机会。