广西南宁市六校联考2020-2021学年高二下学期期末数学(理科)试卷(解析版)
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广西南宁市六校联考2020-2021学年高二下学期期末数学(理科)试卷(解析版)

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资料简介
2020-2021学年广西南宁市六校联考高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).1.已知集合A={x|x+2>0},B={﹣2,﹣1,0,1},则A∩B=()A.[﹣2,1]B.(﹣2,1]C.{﹣2,﹣1,0,1}D.{﹣1,0,1}2.若复数z=i(1+i),则|z|=()A.1B.C.D.23.某网站为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据,绘制了下面的折线图.根据折线图,下列结论正确的是()A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳4.若抛物线y2=8x上一点P(m,n)到其焦点的距离为8m,则m=()A.B.C.D.5.“中国天眼”历时22年建成,是具有我国自主知识产权,世界最大单口径(球冠底面直径500米)、最灵敏的球面射电望远镜,其形状可近似地看成一个球冠(球面被平面所截得的一部分叫做球冠,如图所示,截得的圆叫做球冠的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球面的半径是R,球冠的高是h,那么球冠的表面积公式为:S=2πRh).已知天眼的反射面总面积(球冠面积)约为25万平方米,则天眼的球冠高度约为() A.60米B.100米C.130米D.160米6.已知向量,满足||=2,(+)•=2,|﹣|=2,向量﹣与的夹角为()A.B.C.D.7.的展开式中,含x3项的系数为()A.45B.﹣45C.15D.﹣158.若α∈(0,π),且3sinα+2cosα=2,则等于()A.B.C.D.9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.B.C.D.10.有6个座位连成一排,安排三人就座,三个空位两两不相邻的不同坐法有()种A.12B.24C.36D.4811.已知a=e,b=3log3e,c=,则a,b,c的大小关系为()A.c<a<bB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c12.已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1﹣x),当x∈[﹣1,0]时f(x)=﹣x,则函数F(x)=f(x)+在区间[﹣9,10]上零点的个数为() A.10B.12C.18D.20二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设变量x,y满足,则z=3x+y的最小值为.14.在某市2021年1月份的高三质量检测考试中,所有学生的数学成绩服从正态分布N(98,102),现任取一名学生,则他的数学成绩在区间(108,118)内的概率为.(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544.)15.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则f(1)+f(2)+⋯+f(2017)=.16.点F为双曲线C:(a>0,b>0)的左焦点,直线y=kx分别与双曲线C的左、右两支交于A、B两点:且满足FA⊥AB,O为坐标原点,∠ABF=∠AFO,则双曲线C的离心率e=.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2bsin(C+).(1)求B;(2)若△ABC的面积为,D为AB边的中点,求CD的最小值. 18.为了增强消防意识,某部门从男职工中随机抽取了50人,从女职工中随机抽取了40人参加消防知识测试,按优秀程度制作了如下2×2列联表:优秀非优秀总计男职工35女职工总计50(1)完成2×2列联表,并判断是否有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关;(2)为参加市里举办的消防知识竞赛,该部门举行了预选赛,已知在消防知识测试中优秀的职工通过预选赛的概率为,现从消防知识测试中优秀的职工中选3人参加预选赛,设随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数,求X的分布列与数学期望.附:P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82819.如图所示,平面ABCD⊥平面BCEF,且四边形ABCD为矩形,四边形BCEF为直角梯形,BF∥CE,BC⊥CE,DC=CE=4,BC=BF=2.(Ⅰ)求证:AF∥平面CDE;(Ⅱ)求直线BE与平面ADE所成角的余弦值;(Ⅲ)求点B到平面ADE的距离. 20.设数列{an}的前n项和为Sn,_____.从①数列{an}是公比为2的等比数列,a2,a3,a4﹣4成等差数列;②Sn=2an﹣2;③Sn=2n+1﹣2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.21.已知f(x)=4lnx﹣x2+a,g(x)=(x2﹣4x+4)ex﹣.(1)求函数g(x)的单调区间;(2)若f(x)<g(x)恒成立,求实数a的取值范围.22.如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P在线段AM上,点N在线段CM上,且满足,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间), 且满足的取值范围. 参考答案一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).1.已知集合A={x|x+2>0},B={﹣2,﹣1,0,1},则A∩B=()A.[﹣2,1]B.(﹣2,1]C.{﹣2,﹣1,0,1}D.{﹣1,0,1}解:∵集合A={x|x+2>0}={x|x>﹣2},B={﹣2,﹣1,0,1},∴A∩B={﹣1,0,1}.故选:D.2.若复数z=i(1+i),则|z|=()A.1B.C.D.2解:∵z=i(1+i)=﹣1+i,则|z|=,故选:C.3.某网站为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据,绘制了下面的折线图.根据折线图,下列结论正确的是()A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳解:由2019年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据,绘制的折线图,知:在A中,月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数,故A错误;在B中,月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少,故B错误;在C中,月跑步平均里程高峰期大致在9、10月,故C错误; 在D中,1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确.故选:D.4.若抛物线y2=8x上一点P(m,n)到其焦点的距离为8m,则m=()A.B.C.D.解:∵抛物线y2=8x,∴p=4,又∵抛物线y2=8x上一点P(m,n)到其焦点的距离为8m,∴由抛物线的定义可得,|PF|=m+=m+2=8m,即m=.故选:B.5.“中国天眼”历时22年建成,是具有我国自主知识产权,世界最大单口径(球冠底面直径500米)、最灵敏的球面射电望远镜,其形状可近似地看成一个球冠(球面被平面所截得的一部分叫做球冠,如图所示,截得的圆叫做球冠的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球面的半径是R,球冠的高是h,那么球冠的表面积公式为:S=2πRh).已知天眼的反射面总面积(球冠面积)约为25万平方米,则天眼的球冠高度约为()A.60米B.100米C.130米D.160米解:如图,O′B=250,球面半径为R,球冠的高是h,则球冠面积S=2πRh.在Rt△OO′B中,有(R﹣h)2+2502=R2,整理得2Rh=h2+2502,则2πRh=πh2+π•2502,∴πh2+π•2502=250000,得=≈17118, ∴h≈130米,故选:C.6.已知向量,满足||=2,(+)•=2,|﹣|=2,向量﹣与的夹角为()A.B.C.D.解:向量,满足||=2,(+)•=2,可得,所以=﹣2,|﹣|=2,=2,=2,所以=2,向量﹣与的夹角为θ,cosθ====﹣,θ∈[0,π],所以θ=.故选:D.7.的展开式中,含x3项的系数为()A.45B.﹣45C.15D.﹣15解:二项式(x﹣1)6的展开式的通项公式为T=C,所以(x+)(x﹣1)6的展开式中含x3的项为:x+=15x3+30x3=45x3,所以含x3项的系数为45,故选:A.8.若α∈(0,π),且3sinα+2cosα=2,则等于() A.B.C.D.解:∵α∈(0,π),且3sinα+2cosα=6sincos+2(2﹣1)=2,∴6sincos+4=4,即3sincos+2=2,∴==2,解得tan=,或tan=0(舍去),故选:D.9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.B.C.D.解:根据几何体的三视图转换为直观图为:作出该几何体的直观图如下所示,观察可知,该几何体的最长棱长为(SB,SC),,,,所以. 故选:C.10.有6个座位连成一排,安排三人就座,三个空位两两不相邻的不同坐法有()种A.12B.24C.36D.48解:根据题意,安排三人就座,三个空位两两不相邻,相当于3个人之间插入3个空位置,故有A33C43=6×4=24种,故选:B.11.已知a=e,b=3log3e,c=,则a,b,c的大小关系为()A.c<a<bB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c解:设,x≥e,则f'(x)=恒成立,∴函数f(x)在[e,+∞)上单调递增,∵a=f(e),b=f(3),c=,又∵e<3<5,∴a<b<c.故选:D.12.已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1﹣x),当x∈[﹣1,0]时f(x)=﹣x,则函数F(x)=f(x)+在区间[﹣9,10]上零点的个数为()A.10B.12C.18D.20解:条件等价于函数f(x)与g(x)=﹣图象在[﹣9,10]上交点的个数,因为f(1+x)=f(1﹣x),所以函数f(x)图象关于x=1对称,又因为f(x)为偶函数且当x∈[﹣1,0]时f(x)=﹣x,所以当x∈[0,1]时f(x)=x,g(x)=﹣==+,作出函数f(x)与g(x)的图象如图: 由图可知,共10个交点,故选:A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设变量x,y满足,则z=3x+y的最小值为5.解:作出变量x,y满足对应的平面区域如图,由z=3x+y,得y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,由图象可知当直线y=﹣3x+z,经过点A时,直线y=﹣3x+z的截距最小,此时z最小.由,解得A(1,2),此时z的最小值为z=3×1+2=5,故答案为:5.14.在某市2021年1月份的高三质量检测考试中,所有学生的数学成绩服从正态分布N(98, 102),现任取一名学生,则他的数学成绩在区间(108,118)内的概率为0.1359.(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544.)解:∵所有学生的数学成绩服从正态分布N(98,102),∴P(88<X<108)=0.6826,P(78<X<118)=0.9544,∴根据正态分布的对称性可知,.故答案为:0.1359.15.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则f(1)+f(2)+⋯+f(2017)=.解:根据函数的图象,利用函数的最值可得:A=2,函数的周期为:T=2×4=8,则:,当x=2时:,解得:φ=2kπ(k∈Z),令k=0可得:φ=0,函数的解析式为:,据此可得:对任意的正整数k:f(k)+f(k+1)+⋯+f(k+7)=0,则:.故答案为:.16.点F为双曲线C:(a>0,b>0)的左焦点,直线y=kx分别与双曲线C的左、右两支交于A、B两点:且满足FA⊥AB,O为坐标原点,∠ABF=∠AFO,则双 曲线C的离心率e=.解:如图,设双曲线的另一个焦点为F1,连接AF1,BF1.根据双曲线的对称性可得,AFBF1为平行四边形.由FA⊥AB,在Rt△AFO与Rt△AFB中,∵∠ABF=∠AFO,∴,得.在Rt△AFO中,有FO2=c2=AF2+AO2=3AO2,得,.由双曲线的定义有:,在Rt△AFB中,BF2=AF2+AB2,即,化简整理得:,两边同时除以a2化为,解得:.∴双曲线的离心率为,故答案为:.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2bsin(C+).(1)求B;(2)若△ABC的面积为,D为AB边的中点,求CD的最小值.解:(1)△ABC中,a=2bsin(C+),由正弦定理得sinA=2sinBsin(C+), 即sin(B+C)=2sinB(sinCcos+cosCsin),即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC,又sinC>0,化简得cosB=sinB,即tanB=;又B∈(0,π),所以B=.(2)因为△ABC的面积为S△ABC=acsinB=ac=,解得ac=4;在△BCD中,由余弦定理可得,CD2=a2+﹣2a•cosB=a2+﹣2≥2a•﹣2=2,当且仅当a=,c=2时,等号成立,所以CD≥,即CD的最小值为.18.为了增强消防意识,某部门从男职工中随机抽取了50人,从女职工中随机抽取了40人参加消防知识测试,按优秀程度制作了如下2×2列联表:优秀非优秀总计男职工35女职工总计50(1)完成2×2列联表,并判断是否有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关;(2)为参加市里举办的消防知识竞赛,该部门举行了预选赛,已知在消防知识测试中优秀的职工通过预选赛的概率为,现从消防知识测试中优秀的职工中选3人参加预选赛,设随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数,求X的分布列与数学期望.附:P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解:(1)2×2列联表如图:优秀非优秀总计男职工351550 女职工152540总计504090≈9.506<10.828.∴没有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关;(2)X的可能取值是0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.X的分布列为:X0123PE(X)=.19.如图所示,平面ABCD⊥平面BCEF,且四边形ABCD为矩形,四边形BCEF为直角梯形,BF∥CE,BC⊥CE,DC=CE=4,BC=BF=2.(Ⅰ)求证:AF∥平面CDE;(Ⅱ)求直线BE与平面ADE所成角的余弦值;(Ⅲ)求点B到平面ADE的距离.【解答】(Ⅰ)证明:以C为坐标原点,以CB、CE、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图, 根据题意可得C(0,0,0),A(2,0,4),B(2,0,0),D(0,0,4),E(0,4,0),F(2,2,0),∴=(0,0,4),易得=(1,0,0)是平面CDE的一个法向量,∵•=(0,0,4)•(1,0,0)=0,∴AF∥平面CDE;(Ⅱ)解:设平面ADE的一个法向量为=(x1,y1,z1),∵=(﹣2,0,0),=(0,4,﹣4),则,∴,取z1=1,得=(0,1,1),,设直线BE与平面ADE所成角为θ,则,所以,所以BE与平面ADE所成角的余弦值为;(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知平面ADE的一个法向量为=(0,1,1),∴,∴点B到平面ADE的距离为.20.设数列{an}的前n项和为Sn,_____.从①数列{an}是公比为2的等比数列,a2,a3,a4﹣4成等差数列;②Sn=2an﹣2;③Sn =2n+1﹣2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解:选①时,数列{an}是公比为2的等比数列,a2,a3,a4﹣4成等差数列;所以2a3=a2+a4﹣4,则8a1=2a1+8a1﹣4,解得a1=2,所以.选②时,Sn=2an﹣2;所以当n=1时,a1=2,当n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2,所以an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1,整理得:(常数),所以;选③时,Sn=2n+1﹣2,所以.(2)bn==,所以①,②,所以①﹣②得:,=,所以. 21.已知f(x)=4lnx﹣x2+a,g(x)=(x2﹣4x+4)ex﹣.(1)求函数g(x)的单调区间;(2)若f(x)<g(x)恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)因为y=g(x)的定义域为R,又g′(x)=(2x﹣4)ex+(x2﹣4x+4)ex=2(x﹣2)ex+(x﹣2)2ex=x(x﹣2)ex,由g′(x)=0得x=2或x=0,x(﹣∞,0)0(0,2)2(2,+∞)g(x)+0﹣0+g′(x)增极大减极小增所以g(x)的单调递增区间为(﹣∞,0)和(2,+∞),递减区间为(0,2),(2)因为y=f(x)定义域为(0,+∞),令F(x)=g(x)﹣f(x)=(x2﹣4x+4)ex﹣﹣4lnx+x2﹣a(x>0),F′(x)=x(x﹣2)ex﹣+x=(x﹣2)(xex+),所以当x∈(0,2)时,F′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,F′(x)>0,所以F(x)min=F(2)=﹣+2﹣4ln2﹣a,则﹣+2﹣4ln2﹣a>0,所以a<2﹣4ln2﹣,故实数a的取值范围为(﹣∞,2﹣4ln2﹣).22.如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P在线段AM上,点N在线段CM上,且满足,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足的取值范围. 解:(1)设点N的坐标为(x,y),∵,∴点P为AM的中点,∵=0,∴NP⊥AM,∴NP是线段AM的垂直平分线,∴NM=NA,又点N在CM上,设圆的半径是r,则r=2,∴NC=r﹣NM,∴NC+NM=r=2>AC,∴点N的轨迹是以A、C为焦点的椭圆,∴2a=2,c=1,可求得b=1,∴椭圆,即曲线E的方程:.(2)当斜率不存在时,直线与曲线E有2个交点此时参数的值为,不妨设FH斜率为k,且将原点移至F,则直线FH方程为y=kx,椭圆方程变为+(y﹣2)2=1,将直线方程代入椭圆得+(kx﹣2)2=1,整理得(1+2k2)x2﹣8kx+6=0,直线与曲线E有二不同的交点,故△=(﹣8k)2﹣4•6(1+2k2)=16k2﹣24>0,即k2>,因为左右对称,可以研究单侧,当k>0时,λ==即λ==由k2>,即,即,令t=∈(0,1),则λ=,t∈(0,1), 由于λ==,故函数在t∈(0,1)上是减函数,故综上,参数的取值范围是

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