高中数学人教版必修第一册期中复习专题3.3 解答（30道）巩固篇（1-3章）（解析版）

专题3.3解答（30道）巩固篇（期中篇）（1-3章）1．设全集为，集合，.（1）分别求，；（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合.【答案】（1），（∁RB）∪A=（2）{a|2≤a≤8}【解析】（1）（2）由题意集合，∴，∴，∴.2．已知．（1）求中对应x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以 即，所以即中对应x的取值范围为（2）设对应的集合为，对应的集合为B.解集合q：，得当时，不等式的解为，对应的解集为当时，不等式的解为，对应的解集为当时，不等式的解为，对应的解集为若p是q的必要不充分条件，当时，满足条件；当时，因为，，则满足；当时，因为，，则满足；综上，实数a的取值范围为3．设命题实数满足，其中，命题实数满足.（1）若，且均为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 （1）由，当时，，即为真命题时，实数的取值范围是.又为真命题时，实数的取值范围是，所以，当均为真命题时，有解得，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即且.设或，或，所以且，即.所以实数的取值范围是.4．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【解析】 （1）当且仅当时取等号，即：（2），当且仅当时取等号又，，（当且仅当时等号同时成立）又5．已知a＞0，b＞0，a+b＝3．（1）求的最小值；（2）证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1），，且， ，当且仅当即时等号成立，的最小值为.（2）因为a＞0，b＞0，所以要证，需证，因为，所以，当且仅当时等号成立.6．已知函数（1）解不等式；（2）若，求证：【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）原不等式化为，即①时，不等式化为，解得；②时，不等式化为，解得，；③时，不等式化为，解得，.综上可得：原不等式解集为. （2），当且仅当且时取等号.又，，当且仅当时取等号.7．已知（1）求证:;（2）求证:.【解析】(1)证明：因为，，而，所以，(当且仅当时取等号)(2)因为，所以所以， 当且仅当时取等号.8．已知函数.（1）当时，求当时，函数的值域；（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）当时，，此时，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，函数在区间上的值域为；（2），令，得或.①当，即时，由，解得；②当，即时，由，解得；③当，即时，由，解得.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.9．设函数．（1）当且时，解关于的不等式；（2）已知，若的值域为，，求的最小值．【答案】（1）或；（2）.【解析】解：（1）由且，代入不等式，得，化简，得，或，不等式的解集为或（2）由的值域为，，可得，△，，可得．，．的最小值为．10．若不等式的解集为（1）求值 （2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据不等式的解集为，则1，2为方程的两根，由求解.（2）由（1）知不等式，即为，然后利用分式不等式的解法求解.11．设全集U=R，集合，．（1）当时，求集合；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，所以，而，故．（2）当时，，符合；当时，因为，所以，解得且．综上，．12．已知不等式的解集为. （1）若，求集合；（2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，当时，不等式，即，即，解得，所以集合.（2）由，可得，当时，不等式的解集为.由集合是集合的真子集可得，所以，当时，不等式的解集为满足题意；当时，不等式的解集为，由集合是集合的真子集，可得，所以，综上可得：，即实数的取值范围为.13．已知函数f(x)＝.（1）求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；（2）求证：f(x)＋f()是定值；（3）求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()的值． 【答案】（1）1，1；（2）证明见解析；（3）2011.【解析】（1）∵f(x)＝，∴f(2)＋f()＝＋＝1，f(3)＋f()＝＋＝1.（2）证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1.（3）由（2）知f(x)＋f()＝1，∴f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1，…，f(2012)＋f()＝1.∴f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()＝2011.14．已知函数.（1）求，的值；（2）求证：是定值；（3）求的值．【答案】（1）1；1；（2）证明见解析；（3）2011.【解析】 解析：（1）∵，∴,;(2)证明：∵，∴,∴,(3)由(2)知，∴∴＝2011.15．已知函数（a，b为常数），且方程有两个实根，．（1）求函数的解析式；（2）设，解关于x的不等式：．【答案】（1）（2）当时，或；当时，且 ；当时，或．【解析】（1）由题意得，解得，所以；（2）原不等式可化为，即．所以当时，或；当时，且；当时，或．16．（1）已知求的解析式；（2）已知是二次函数，且满足求的解析式.【答案】（1）且；（2）.【解析】（1）设，则，代入，得故且；（2）设所求的二次函数为.∵则. 又∵∴即由恒等式性质，得∴所求二次函数为17．已知函数.（1）求，的值；（2）当时，求x的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】解:（1）因为所以所以，因为，所以（2）①当时，由， 得；②当时，满足题意③当时，由，得综上所述：x的取值范围是：或.18．（1）已知是一次函数，满足，求的解析式.（2）已知，求的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）设，则，又因为，所以，，，所以（2）设，则，所以.19．已知函数.（1）求函数的定义域和值域；（2）判断函数在区间上单调性，并用定义来证明所得结论. 【答案】(1)定义域，值域；(2)单调递减，证明见解析.【解析】(1),的定义域为，值域.(2)由函数解析式得该函数在为减函数，下面证明：任取，且，，，，，.函数在为减函数.20．已知函数.（1）若，写出的单调区间(不要求证明)；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为：，单调递增区间为：；（2）.【解析】解：（1）当时，，函数图象如下所示， 所以的单调递减区间为：；单调递增区间为：（2）记，则由题意得对任意，，即对任意恒成立由（1）得对任意恒成立由（2）得对任意恒成立综上所述，即的取值范围为 21．已知f(x)=奇函数，且．（1）求实数p,q的值．（2）判断函数f（x）在上的单调性，并证明．【答案】（1）p＝2，q＝0（2）见解析【解析】解：（1）由题意可得f（﹣x）+f（x）＝0，即0，求得q＝0．再由f（2），解得p＝2．综上可得，p＝2，q＝0．（2）由上可得，f（x）（x），函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数．证明：设x1＜x2＜﹣1，则f（x1）﹣f（x2）[（x1）﹣（x2）]（x1﹣x2）（）．由题设可得（x1﹣x2）＜0，x1•x2＞1，故有f（x1）﹣f（x2）＜0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数．22．定义在上的函数对任意，都有（为常数）．（1）当时，证明为奇函数； （2）设，且是上的增函数，已知，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据题意，函数满足，当时，令，由，得，即，令，，则，又，则有，即对任意成立，∴是奇函数．（2）根据题意，∵，∴，∴．又是上的增函数，∴，即，分2种情况讨论：①当时，不等式显然成立；此时不等式的解集为；②当时，则有，解得，综上可得，实数的取值范围是． 23．设函数，作出的图像并讨论其性质．【解析】因为，所以将幂函数的图象向左平移一个长度单位后，再向上平移一个长度单位可得函数的图象，其函数图象如图：其定义域为：，值域为：，函数为非奇非偶函数，图像关于对称，在上单调递增，在上单调递减.24．已知幂函数在上单调递增，函数；（1）求的值；（2）当时，记、的值域分别是、，若，求实数的取值范围；【答案】(1)0;(2)【解析】(1)函数为幂函数，则，解得：或. 当时，在上单调递增，满足条件.当时，在上单调递减，不满足条件.综上所述.(2)由(1)可知,,则、在单调递增,所以在上的值域,在的值域.因为,即,所以，即，所以.所以实数的取值范围是.25．已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，所以解得：或（舍去）， 所以.（2）由（1）得，所以，假设存在使得命题成立，则当时，即，在单调递增，所以；当，即，显然不成立；当，即，在单调递减，所以无解；综上所述：存在使命题成立.26．已知幂函数为偶函数，在区间上是单调增函数，（1）求函数的解析式；（2）设函数，若恒成立，求实数q的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1） （2）27．已知幂函数的图象经过点.（1）求函数的解析式；（2）证明：函数在上是减函数．【答案】（1）（2）证明见详解.【解析】（1）设幂函数，则有，即，∴，∴.（2）证明：在上任取，且.则，因为，故，即∴，∴函数在上是减函数.即证. 28．已知幂函数的图象过点.（1）求出函数的解析式，判断并证明在上的单调性；（2）函数是上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围.【答案】（1），在上是增函数；证明见解析（2）【解析】（1）设幂函数的解析式为，将点代入解析式中得，解得，所以，所求幂函数的解析式为.幂函数在上是增函数.证明：任取，且，则，因为，， 所以，即幂函数在上是增函数（2）当时，，而幂函数在上是增函数，所以当时，在上是增函数.又因为函数是上的偶函数，所以在上是减函数.由，可得：，即，所以满足时实数的取值范围为.29．已知函数，.（1）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围.（2）若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）或或；（2）或.【解析】（1）因为，，所以，所以，，故，要使对任意，，不等式恒成立，只需， 所以，即.记，因为，所以只需，即，解得或或.故的取值范围为或或.（2）当时，；当时，，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以函数在上的值域为.由题意知，以下分三种情况讨论：①当，即时，则，解得；②当，即时，则，解得；③当，即时，则或， 即或，所以，或.综上，的取值范围为或.30．已知函数是幂函数.(1)求函数的解析式;(2)判断函数的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数在上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1);(2)函数为偶函数;(3)在上单调递减,证明见解析.【解析】（1）因为函数是幂函数，则，解得，故．（2）函数为偶函数．证明如下：由（1）知，其定义域为关于原点对称，因为对于定义域内的任意，都有， 故函数为偶函数．（3）在上单调递减．证明如下：在上任取，，不妨设，则，且，，在上单调递减.【点睛】本题主要考查的是幂函数，函数的奇偶性、单调性，主要是它们定义的应用，考查学生的计算能力，是基础题.