直线与平面、平面与平面平行的性质

 直线与平面、平面与平面平行的性质[学习目标] 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.知识点一 直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言⇒a∥b图形语言思考 (1)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的任意一条直线，对吗？(2)若直线a与平面α不平行，则直线a就与平面α内的任一直线都不平行，对吗？答 (1)不对.若直线a∥平面α，则由线面平行的性质定理可知直线a与平面α内的一组直线平行.(2)不对.若直线a与平面α不平行，则直线a与平面α相交或a⊂α.当a⊂α时，α内有无数条直线与直线a平行.知识点二 平面与平面平行的性质文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 图形语言思考 (1)两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？(2)两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？答 (1)不一定.因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点，它们平行或异面.(2)平行.因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以它们平行.题型一 线面平行性质定理的应用例4 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明 连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.跟踪训练1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG. 证明 ∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.题型二 面面平行性质定理的应用例2 已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.证明 ①若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.∵α∥β，∴AC∥BD.又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂平面α，MN⊄平面α，∴MN∥平面α.②若AB、CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD.∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.又P、N分别为AE、CD的中点，∴PN∥ED，又ED⊂平面α，PN⊄平面α，∴PN∥平面α.同理可证MP∥BE，∴MP∥平面α，∵AB、CD异面，∴MP、NP相交.∴平面MPN∥平面α. 又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.跟踪训练2 如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长.解 如图，连接AF，交β于点G，连接BG，GE，AD，CF.因为平面α∥平面β∥平面γ，所以BG∥CF，GE∥AD.所以＝＝＝.所以＝.所以AB＝cm，EF＝3DE＝15cm，BC＝AC－AB＝cm. 题型三 平行关系的综合应用例3 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.解 能，如图，取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.∵平面A1C1∥平面AC，平面A1C∩平面A1C1＝A1N，平面AC∩平面A1C＝MC，∴A1N∥MC.同理，A1M∥NC.∴四边形A1MCN是平行四边形.∵C1N＝C1D1＝A1B1＝A1P，C1N∥A1P，∴四边形A1PC1N是平行四边形，∴A1N∥PC1且A1N＝PC1.同理，A1M∥BP，A1M＝BP.又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1.故过点A1与截面PBC1平行的截面是▱A1MCN.连接MN，作A1H⊥MN于点H.由题意，易得A1M＝A1N＝，MN＝2.∴MH＝NH＝，∴A1H＝.故＝2××2×＝2.跟踪训练3 如图，三棱锥A－BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH. 证明 ∵四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH. 转化与化归思想例4 如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.分析 欲证明线线平行可考虑线面平行的性质，欲证明线面平行可考虑线面平行的判定或面面平行的性质.(1)证明 因为AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥BC.(2)解 平行.证明如下：如图，取CD的中点Q，连接NQ，MQ.因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQ∥AD，NQ∥PD.因为MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD. 忽视定理的条件例6 如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形.分析 已知E，F两点为正方体棱的中点，若证四边形BED1F为平行四边形，则先证B，E，D1，F四点共面，再证四边形BED1F为平行四边形.证明 如图，连接AC，BD，交点为O；连接A1C1，B1D1，交点为O1.连接BD1，EF，OO1.设OO1的中点为M.由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形.又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M.所以E，B，F，D1四点共面.又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF， 所以ED1∥BF.同理，EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形.1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线(  )A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内两条相交直线不相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交2.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是(  )A.α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB.α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3.若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则(  )A.α∥平面ABCB.△ABC中至少有一边平行于αC.△ABC中至多有两边平行于αD.△ABC中只可能有一边与α相交4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________. 5.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为________.一、选择题1.如图，在四面体A－BCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为(  )A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(  )A.2∶25       B.4∶25C.2∶5D.4∶5 3.设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C(  )A.不共面B.当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A，B如何移动，都共面4.如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(  )A.MN∥PDB.MN∥PAC.MN∥ADD.以上均有可能5.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线(  )A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.没有6.下列结论中，正确的有(  )①若a⊄α，则a∥α②a∥平面α，b⊂α，则a∥b③平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a∥b④平面α∥β，点P∈α，a∥β，且P∈a，则a⊂αA.1个B.2个C.3个D.4个7.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为(  ) A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点二、填空题8.已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β；⑤若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.其中正确命题的序号是________.9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.10.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E、F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.三、解答题11.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD 的重心.(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.当堂检测答案1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线(  ) A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内两条相交直线不相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交2.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是(  )A.α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB.α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3.若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则(  )A.α∥平面ABCB.△ABC中至少有一边平行于αC.△ABC中至多有两边平行于αD.△ABC中只可能有一边与α相交4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.5.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为________. 课时精练答案一、选择题1.答案 C解析 ∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，从而易得PQ∥面DAC.又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC.从而易得AC∥平面PNMQ.同理可得QM∥BD.又∵PQ⊥QM，∠PMQ＝45°，∴AC⊥BD，且异面直线PM与BD所成的角为45°.故选项A、B、D正确.2.答案 B解析 ∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴A′B′∥AB.同理B′C′∥BC，A′C′∥AC，从而易得△A′B′C′∽△ABC，且＝＝，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝.3.答案 D解析 如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′.连接A′B，取A′B的中点E，连接CE，C′E，CC′，AA′，BB′.则CE∥AA′，从而易得CE∥α.同理C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.故不论A，B如何移动，所有的动点C都在过点C且与α，β平行的平面上.4.答案 B解析 ∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.5.答案 B 解析 设这n条直线的交点为P，则P∉a，∴直线a和点P确定一个平面β.设α∩β＝b，则P∈b.又∵a∥α，∴a∥b.显然直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.6.答案 A解析 ①中，a与α也可能相交，故①不正确；②③中，a与b也可能异面，故②③不正确；④中，∵a∥β，α∥β，∴a∥α或a⊂α，又∵P∈a，P∈α，∴a⊂α，故④正确.7.答案 D解析 ∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交.①若l∥α，则由线面平行的性质定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a，b，c，…，这些交线都平行.②若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确.二、填空题8.答案 ②⑤解析 ①错误，α与β也可能相交；②正确，依题意，由a，b确定的平面γ，满足γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④错误，α与β也可能相交；⑤正确，由线面平行的性质定理可知.9.答案 解析 因为EF∥平面AB1C，且EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又因为E为AD的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以EF＝AC＝×2＝. 10.答案 解析 EF可看成为直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又＝，∴EF＝＝＝.三、解答题11.(1)证明 如图，连接BM，BN，BG并分别延长交AC，AD，CD于P，F，H.∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，则有＝＝＝2.连接PF，FH，PH，有MN∥PF.又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD.又MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.(2)解 由(1)可知，＝＝，∴MG＝PH.又PH＝AD，∴MG＝AD.同理NG＝AC，MN＝CD，∴△MNG∽△ADC，且相似比为1∶3，∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9. 12.证明 如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴＝.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴＝，∴＝，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.