直线、平面平行的判定及其性质习题

2010届高三数学一轮复习强化训练精品――直线、平面平行的判定及性质基础自测1.下列命题中，正确命题的个数是.①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥;②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.答案12.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③3.对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）.①若m⊥，m⊥n，则n∥②若m∥，n∥，则m∥n③若m，n∥，则m∥n④若m、n与所成的角相等，则m∥n答案①②④4.已知直线a,b,平面，则以下三个命题：①若a∥b,b,则a∥;②若a∥b,a∥,则b∥;③若a∥,b∥,则a∥b.其中真命题的个数是.答案05.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN∥平面AA1C1.证明设A1C1中点为F，连接NF，FC，∵N为A1B1中点，∴NF∥B1C1，且NF=B1C1，又由棱柱性质知B1C1BC，又M是BC的中点，∴NFMC，∴四边形NFCM为平行四边形.∴MN∥CF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1. 例1如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.证明方法一分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连接MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN.又∵B1E=C1F，∴EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，则，∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴，∴FG∥B1C1∥BC，又EG∩FG=G，AB∩BC=B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.例2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.（1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；（2）求S△∶S△ABC.（1）证明如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD=2∶3，PG2∶PE=2∶3，∴G1G2∥DE.又G1G2不在平面ABC内，∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC.又因为G1G2∩G2G3=G2，∴平面G1G2G3∥平面ABC.（2）解由（1）知=，∴G1G2=DE.又DE=AC，∴G1G2=AC.同理G2G3=AB，G1G3=BC.∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1∶3，∴S△∶S△ABC=1∶9.例3（16分）如图所示，平面∥平面，点A∈，C∈，点B∈，D∈,点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD. （1）求证：EF∥;（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.（1）证明①当AB，CD在同一平面内时，由∥，平面∩平面ABDC=AC，平面∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，2分∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，又EF,BD,∴EF∥.4分②当AB与CD异面时，设平面ACD∩=DH，且DH=AC.∵∥，∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，6分在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面.∵EF平面EFG，∴EF∥.综上，EF∥.8分（2）解如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME=BD=3，MF=AC=2，∴∠EMF为AC与BD所成的角（或其补角），∴∠EMF=60°或120°，12分∴在△EFM中由余弦定理得，EF===，即EF=或EF=.16分1.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG∥平面DEF，证明如下：方法一连接CG交DE于点H，如图所示.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG. ∴H为CG的中点.∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG平面DEF，FH平面DEF，∴SG∥平面DEF.方法二∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，∴平面SAB∥平面DEF，又SG平面SAB，∴SG∥平面DEF.2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.证明（1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OEDC，又D1GDC，∴OED1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.又D1O平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1∩HD1=D1，DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B1D1H.3.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.（1）证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.(2)解设EF=x（0＜x＜4），由于四边形EFGH为平行四边形，∴.则===1-.从而FG=6-.∴四边形EFGH的周长l=2(x+6-)=12-x. 又0＜x＜4,则有8＜l＜12,∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.一、填空题1.下列命题，其中真命题的个数为.①直线l平行于平面内的无数条直线，则l∥；②若直线a在平面外，则a∥;③若直线a∥b,直线b,则a∥；④若直线a∥b,b,那么直线a就平行于平面内的无数条直线.答案12.写出平面∥平面的一个充分条件（写出一个你认为正确的即可）.答案存在两条异面直线a,b,a,b,a∥,b∥3.对于不重合的两个平面与，给定下列条件：①存在平面，使得，都垂直于;②存在平面，使得，都平行于;③存在直线l,直线m,使得l∥m;④存在异面直线l、m，使得l∥,l∥,m∥,m∥.其中，可以判定与平行的条件有（写出符合题意的序号）.答案②④4.（2008·海南，宁夏文，12）已知平面⊥平面,∩=l,点A∈,Al,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥,m∥,则下列四种位置关系中,一定成立的是.①AB∥m②AC⊥m③AB∥④AC⊥答案①②③5.（2008·湖南理，5）设有直线m、n和平面、.下列命题不正确的是（填序号）.①若m∥,n∥,则m∥n②若m，n,m∥,n∥,则∥③若⊥，m，则m⊥④若⊥,m⊥,m,则m∥答案①②③6.下列关于互不相同的直线m,l,n和平面，的四个命题：①若m,l∩=A,点Am，则l与m不共面；②若m,l是异面直线，l∥,m∥,且n⊥l,n⊥m,则n⊥;③若l∥,m∥,∥,则l∥m;④若l,m,l∩m=A,l∥,m∥,则∥.其中假命题的序号是.答案③∥7.考察下列三个命题，在“”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l,m为不同的直线，、为不重合的平面），则此条件为. ∥∥∥∥①②③答案l8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=.答案a二、解答题9.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.10.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥平面BCE.证明方法一如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE=BD.又∵AP=DQ，∴PE=QB，又∵PM∥AB∥QN，∴，，，∴PMQN，∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法二如图所示，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK，∵AE=BD，AP=DQ，∴PE=BQ，∴=①又∵AD∥BK，∴=②由①②得=，∴PQ∥EK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法三如图所示，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M， 连接QM.∵PM∥BE，PM平面BCE，即PM∥平面BCE，∴=①又∵AP=DQ，∴PE=BQ，∴=②由①②得=，∴MQ∥AD，∴MQ∥BC，又∵MQ平面BCE，∴MQ∥平面BCE.又∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCE，PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.11.（2008·海南、宁夏文，18）如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和左视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连接BC′,证明:BC′∥平面EFG.(1)解如图(1)所示.图（1）(2)解所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=4×4×6-×(×2×2)×2=(cm3).(3)证明如图(2),在长方体ABCD—A′B′C′D′中,连接AD′,则AD′∥BC′.因为E,G分别为AA′,A′D′的中点, 所以AD′∥EG,从而EG∥BC′.又BC′平面EFG,图（2）所以BC′∥面EFG.12.如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求线段MN的长.（1）证明连接AN并延长交BC于Q，连接PQ，如图所示.∵AD∥BQ，∴△AND∽△QNB，∴===，又∵==，∴==，∴MN∥PQ，又∵PQ平面PBC，MN平面PBC，∴MN∥平面PBC.（2）解在等边△PBC中，∠PBC=60°，在△PBQ中由余弦定理知PQ2=PB2+BQ2-2PB·BQcos∠PBQ=132+-2×13××=，∴PQ=，∵MN∥PQ，MN∶PQ=8∶13，∴MN=×=7.