直线、平面平行的判定与性质(习题课)课件

第4讲直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行(1)定义：如果一条直线和一个平面____公共点，那么这条直线这个平面____．(2)判定方法：①利用定义；没有平行②判定定理：如果平面外的一条直线与_______的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；平面内③其他方法：如果两个平面平行，则其中一个平面内的_________行于另一个平面．任一直线(3)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_______与该直线平行．相交线 2．平面与平面平行(1)定义：如果两个平面____公共点，那么这两个平面互相_____．(2)判定方法：①利用定义；②判定定理：如果一个平面内的两条______直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；③其他方法：垂直于_______直线的两个平面互相_____．没有平行相交同一条平行(3)性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线_____．平行 1．下列命题中，正确命题的个数是()A①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．1B．2C．3D．4 2．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()CA．异面B．相交C．平行D．不能确定3．如图13－4－1，过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两)条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有(图13－4－1A．4条B．6条C．8条D．12条D 4．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中假命题是___②③④(填序号)．①若m⊥α，m⊥n，则n∥α；②若m∥α，n∥α，则m∥n；③若m⊂α，n∥α，则m∥n；④若m、n与α所成的角相等，则m∥n.5．给出下面四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行；①④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等．其中正确的命题序号为_____.②④ 线线、线面、面面平行的判定考点1例1：如图13－4－4，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.图13－4－4解题思路：在寻求线线平行时利用中位线性质，等比例截割定理，平行四边形的性质等等来判定． 证法一：分别过E、F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连接MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC.∴EM∥BB1，FN∥BB1.∴EM∥FN.又∵B1E＝C1F，∴EM＝FN.故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.又MN⊂平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD. ＝，＝，∴FG∥B1C1∥BC，证法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，则B1EB1GB1AB1B∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FB1GC1BB1B又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD.又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.(1)证明两个平面平行利用两个平面平行的判定定理及推论，寻找线线平行是关键．(2)另外应用判定定理时要注意平面内两条直线的相交性． 【互动探究】1．如图13－4－5，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，且截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH的周长的取值范围．图13－4－5 (1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.(2)解：设EF＝x(0＜x＜4)，∵四边形EFGH为平行四边形， 例2：如图13－4－6，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥β；(2)若E、F分别是AB、CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC、BD所成的角为60°，求EF的长．考点2线线、线面、面面平行的性质的应用图13－4－6解题思路：先利用面面平行判定定理证得平面EFG∥β，再利用平行平面性质证得EF∥β. 解析：(1)证明：①当AB、CD在同一平面内时，由α∥β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，知AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EFβ，BD⊂β，∴EF∥β；②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β＝DH，且DH＝AC.如图13－4－7.∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形．在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH.又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面β.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β.综上，EF∥β.图13－4－7 图13－4－8(2)解：如图13－4－8，连接AD，取AD的中点M，连接ME、MF.∵E、F分别为AB、CD的中点，∴ME∥BD，MF∥AC， 面面平行的性质定理包括：①两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；③一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一平面． 【互动探究】2．设m、n是平面α内的两条不同直线，l1、l2是平面β内的两条相交直线且α、β互不相同，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αC．m∥β且n∥βB．m∥l1且n∥l2D．m∥β且n∥l2B解析：若m∥l1，n∥l2，m、n⊂α，l1、l2⊂β，则可得α∥β.若α∥β,则存在相交直线l1、l2，m∥l2，n∥l1. ②l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.其中为假命题的是()A．①B．②C．③D．④误解分析：此题常犯的错误是从面面平行跳过线面平行而直接就推出线线平行，所以需特别注意由面面平行推出线线平行时一般需构造第三平面．正解：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，但命题③中没有说明直线l与m是共面的．故选C.错源：面面平行“直接推出”线线平行例3：给出下列关于互不相同的直线m、n、l和平面α、β的四个命题：①m⊂α，l∩α＝A，Am，则l与m不共面； 【互动探究】3．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①②显然正确，③中m与n可能相交、平行或异面，④考虑长方体的顶点，α与β可以相交．A PC、PD、BC的中点．现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图13－4－9(2)．在图13－4－9(2)中，(1)求证：AP∥平面EFG；(2)求二面角G－EF－D的大小．图13－4－9例4：如图13－4－9(1)，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分别是线段 解题思路：折叠问题的解题关键在于分析好两种关系，即翻折前后哪些位置关系和度量关系发生变化，哪些没有改变．图13－4－10又由三角形中位线定理知MF∥PA，∴AP∥平面EFG.解析：(1)如图13－4－10，取AD中点M，连接FM、MG.由条件知EF∥DC∥MG，∴E、F、M、G四点共面． (2)由条件知，CD⊥AD，CD⊥PD，∴CD⊥平面PAD.又EF为三角形PCD的中位线，∴EF∥CD，∴EF⊥平面PAD，即DP⊥EF，MF⊥EF.∴∠MFD为二面角G－EF－D的平面角.在Rt△FDM中，易知DM＝DF＝1.∴MFD＝45°，即二面角G－EF－D的大小为45°.折叠问题中，要抓住位于同一半平面内的图形相对位置关系和度量关系均不变的规律． 【互动探究】4．如图13－4－11，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；图13－4－11 (1)证明：连接BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△ACD的重心，连接PF、FH、PH，有MN∥PF.又PF⊂平面ACD，MN平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理，MG∥平面ACD，又MG∩MN＝M,∴平面MNG∥平面ACD. 平行关系是指空间两直线、直线和平面、平面与平面平行的位置关系．解决这类问题的关键在于熟练掌握“线线、线面、面面”之间的平行关系的概念、判定定理和性质定理，熟悉各种必要辅助线的作法，如构造中位线、构造平行四边形、见到比例构造相似、已知线面平行或面面平行要作辅助面等等．