8.4 直线、平面平行的判定与性质

§8.4直线、平面平行的判定与性质一、选择题1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的(  )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 D2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是(  )A．一定平行B．不平行C．平行或相交D．平行或在平面内解析直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.答案 D3．设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是(  )．A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β解析 A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．答案 D4.下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 答案 C5.a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题①⇒α∥β②⇒α∥β③⇒a∥α④⇒α∥a其中正确的命题是(  )A．①②③B．①④C．②D．①③④解析②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．答案C6．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(  )．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析 对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.答案 B7．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是(  )．A．①②B．①④C．②③D．③④解析 由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.答案 A二、填空题8．给出下列命题： ①一条直线平行于一个平面，这条直线就与这个平面内的任何直线不相交；②过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行；④平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行；⑤a和b是异面直线，则经过b存在唯一的平面与a平行．则其中正确命题的序号为________．解析①显然正确，如果直线与平面内的一条直线相交，则直线与平面相交，与直线与平面平行矛盾；②不正确，过平面外一点有一个平面与平面平行，而在这个平面内有无数条直线与平面平行；③不正确，过直线外一点有一条直线与已知直线平行，而过直线外一点与直线平行的平面却有无数个；④不正确，这条直线可能在该平面内；⑤正确，过b上一点作一直线与a平行，此时该直线与b相交可确定一平面，且与a平行，且唯一．答案①⑤9．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析 过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 610．已知a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β；④⇒a∥α；⑤⇒α∥β；⑥⇒a∥α.其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．解析 ②中a、b的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交．答案 ①④⑤⑥11．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线； ②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；③已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．解析 ①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m、n也可能异面，故为假命题．答案 ②12.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.解析由平面HNF∥平面B1BDD1知当M点满足在线段FH上有MN∥面B1BDD1.答案M∈线段FH三、解答题13．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.证明 过M作MG∥BC，交AB于点G，如图所示，连接NG.∵MG∥BC，BC⊂平面BCE，MG⊄平面BCE，∴MG∥平面BCE.又＝＝，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.又MG∩NG＝G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面BCE.14．如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD， NB⊥平面ABCD，且MD＝2，NB＝1，MB与ND交于P点，点Q在AB上，且BQ＝.(1)求证：QP∥平面AMD；(2)求七面体ABCDMN的体积．解析(1)证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB.∴＝＝.又＝＝，∴＝.∴在△MAB中，QP∥AM.又QP⊄平面AMD，AM⊂平面AMD，∴QP∥平面AMD.(2)连接BD，AC并交于点O，则AC⊥BD，又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD＝D.∴AC⊥平面MNBD.∴AO为四棱锥A－MNBD的高．又S四边形MNBD＝×(1＋2)×2＝3，∴VA－MNBD＝×3×＝2.又VC－MNBD＝VA－MNBD＝2，∴V七面体ABCDMN＝2VA－MNBD＝4.15．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l是平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线．求证：l∥平面A1BD.证明 ∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，且平面A1B1C1D1∩平面AB1D1＝B1D1，平面 ABCD∩平面AB1D1＝l，∴l∥B1D1.又B1D1∥BD，∴l∥BD.又l⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，∴l∥平面A1BD.16．如图，三棱柱ABC-A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解析 法一 如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC，∴OM⊥底面ABC.又∵EC＝2FB，∴OM∥FB綉EC，∴四边形OMBF为矩形，∴BM∥OF，又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF.故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．法二 如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ，∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綉BF，PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF，又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．