8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

8.3空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．下列命题正确的个数为(  )．①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0B．1C．2D．3解析 ①④错误，②③正确．答案 C2．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(  )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC解析A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.答案C3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为(  )A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分解析垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．答案C4．正方体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(  )．A．3B．4C．5D．6 解析 依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．答案 C5．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是(  )．A．A1、M、O三点共线B．M、O、A1、A四点共面C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面解析 因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，O也是A1C的中点，所以点O在直线A1C上，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．答案 D6．如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(  )．A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析 选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．答案 D7．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，则以这4个顶点为顶点构成的几何形体可能是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③ 有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．则其中正确结论的序号是(  )．A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④解析 由长方体的性质知①正确，②不正确；对于③，长方体ABCDA1B1C1D1中的四面体A1ABD符合条件，③正确；对于④，长方体ABCDA1B1C1D1中的四面体A1BC1D符合条件，④正确；对于⑤，长方体ABCDA1B1C1D1中的四面体A1ABC符合条件．答案 A二、填空题8．下列四个命题中，真命题为_______(写出所有正确结论的编号)．①若两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线必在同一个平面内．解析根据公理容易判断①③是正确的．故选B.答案 ①③9．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．解析 如图所示，三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.观察图形，可得α、β、γ把空间分成7部分．答案 710．以下四个命题中，正确命题的序号是________．①不共面的四点中，任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．解析①可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上． 答案 ① 11．已知线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AB、CD的中点，则MN____________(AC＋BD)(填“＞”，“＜”或“＝”)．解析 如图所示，四边形ABCD是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AB、CD的关系，必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD，取AD的中点为G，再连接MG、NG，在△ABD中，M、G分别是线段AB、AD的中点，则MG∥BD，且MG＝BD，同理，在△ADC中，NG∥AC，且NG＝AC，又根据三角形的三边关系知，MN＜MG＋NG，即MN＜BD＋AC＝(AC＋BD)．答案 ＜12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．解析如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.答案90°三、解答题13．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)． 证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰．∴AB，CD必定相交于一点．设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l，∴M∈l.即AB，CD，l共点．14．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解析(1)证明 由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綉AD.又BC綉AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：由BE綉AF，G是FA的中点知，BE綉GF，所以EF綉BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．15．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线． 证明 ∵C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1，∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．又∵M∈AC，∴M∈平面A1ACC1.∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．∵O为A1C与截面DBC1的交点，∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，即O也是两平面的公共点，∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线．16.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线．证明 (1)△ABD中，E、F为AD、AB中点，∴EF∥BD.△CBD中，BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，∴GH∥BD，∴EF∥GH(平行线公理)，∴E、F、G、H四点共面．(2)∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，⇒P∈直线AC. ∴P、A、C三点共线．