高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系学案 新人教A版必修2

空间中直线与直线之间的位置关系1．空间中两条直线的位置关系.2．平行公理及等角定理.3．异面直线所成的角1．填空题：（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′.答案：（1）3条.分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.2．如图，已知长方体ABCD–A′B′C′D′中，AB=，AD=，AA′=2.（1）BC和A′C′所成的角是多少度？（2）AA′和BC′所成的角是多少度？2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′=45°.（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′=AD=，BB′=AA′=2，所以BC′=4，∠B′BC′=60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.经典习题例1“a、b为异面直线”是指：①a∩b=，且a∥b；②a面，b面，且a∩b=；③a面，b面，且∩=； ④a面，b面；⑤不存在面，使a面，b面成立.上述结论中，正确的是（）A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确【解析】①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D例2如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有条.abAa′b′OPA′B′【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有∠A′PO=∠B′PO=25°.∵∠APA′＞A′PO，∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.例3空间四边形ABCD，已知AD=1，BD=，且AD⊥BC，对角线BD=，AC=，求AC和BD所成的角。【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.∥＝∥＝则MGEM∵AD⊥BC∴EM⊥MG在Rt△EMG中，有在RFG中，∵EF=∴EF2+FG2=EG2∴EF⊥FG，即AC⊥BD ∴AC和BD所成角为90°.【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.