212空间中直线与直线之间的位置关系
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212空间中直线与直线之间的位置关系

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时间:2022-08-15

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资料简介
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 ABCD六角螺母 定义1:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.注:概念应理解为:“经过这两条直线无法作出一个平面”.或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”.定义2:不相交也不平行两条直线叫做异面直线.注意:分别在某两个平面内的两条直线不一定是异面直线,它们可能是相交,也可能是平行.一、异面直线: 异面直线的画法:Abababa用平面衬托 A1B1C1D1CBDA练习:如图:正方体的棱所在的直线中,与直线A1B异面的有哪些?答案:D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1 二、空间两直线的位置关系:(1)从公共点的数目来看,可分为:①有且只有一个公共点——两直线相交②没有公共点两直线平行两直线为异面直线 (2)从平面的性质来讲,可分为:两直线相交①在同一平面内两直线平行②不在同一平面内——两直线为异面直线 问题:在同一平面内,平行于同一条直线的两直线平行,在空间中此结论仍成立吗? 若a∥b,b∥c,则a∥ccabα公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(空间平行直线的传递性) 空间四边形:如图,顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.ABCD相对顶点A与C,B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线. 例1:已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,连结EF,FG,GH,HE,求证:四边形EFGH是平行四边形.解题思想:∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD且EH=BD同理,FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴四边形EFGH是平行四边形证明:连结BD把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法.ABDEFGHC 问题:在空间中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等吗?αβ 方向相同或相反,结果如何?αβγ 一组边的方向相同,而另一组边的方向相反,又如何?αβ 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图.在空间,如图所示,正方体ABCD-EFGH中,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?ABGFHEDCO三、异面直线所成角:平移法 O异面直线所成角的定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).abb′a′思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?异面直线所成的角的范围(0,90]oo如果两条异面直线a,b所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b注a″ 思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?b′a′O∠1aa″b∠2在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)注意 45o例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数.找两条异面直线所成的角,要作平行移动(平行线),把两条异面直线所成的角,转化为两条相交直线所成的角. 例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直? 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答:(1)∵GF∥BC∴∠EGF(或其补角)为所求.Rt△EFG中,求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG(或其补角)为所求,Rt△BFG中,求得∠FBG=60oABGFHEDC2 AFEDCB如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD,BC上的点,且,已知AB=CD=3,,求异面直线AB和CD所成的角.M 一作(找)、二证、三求(1)通过直线平移,作出异面直线所成的角,把空间问题转化为平面问题.(2)利用平面几何知识,求出异面直线所成角的大小.异面直线所成角的求法: 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,棱长为a,E、F分别是棱A’B’,B’C’的中点,求:①异面直线AD与EF所成角的大小;②异面直线B’C与EF所成角的大小;③异面直线B’D与EF所成角的大小.平移法OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角. 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系小结公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.异面直线的求法:一作(找)二证三求空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.等角定理:异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移,转化为相交直线所成的角 1、一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条之间的位置关系是( )A、平行   B、相交C、异面   D、可能平行、可能相交、可能异面2、两条异面直线指的是( )A、没有公共点的两条直线B、分别位于两个不同平面的两条直线C、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D、不同在任何一个平面内的两条直线备选练习: 3、下列命题中,其中正确的是()(1)若两条直线没有公共点,则这两条直线互相平行(2)若两条直线都和第三条直线相交,那么这两条直线互相平行(3)若两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行(4)若两条直线都和第三条直线异面,那么这两条直线互相平行4、三个平面两两相交,所得的三条交线( )A、交于一点   B、互相平行C、有两条平行  D、或交于一点或互相平行 AcBDHEFG1.已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、CD上的点,且   =   =.求证:四边形EFGH有一组对边平行但不相等CFCBCGCD23 ABCDEPMN2.如图,P是△ABC所在平面外一点,D、E分别是△PAB和△PBC的重心.求证:DE∥AC,DE= AC13 3.下图长方体中平行相交异面②BD和FH是直线①EC和BH是直线③BH和DC是直线BACDEFHG(2).与棱AB所在直线异面的棱共有条?4分别是:CG、HD、GF、HE课后思考:这个长方体的棱中共有多少对异面直线?(1)说出以下各对线段的位置关系? ABGFHEDC4.如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求(1)BE与CG所成的角?(2)FO与BD所成的角?解:(1)如图:∵BF∥CG,∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又BEF中∠EBF=45,所以BE与CG所成的角是45ooO连接HA、AF,依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30o(2)连接FH,所以FO与BD所成的夹角是30o∴四边形BFHD为平行四边形,∴HF∥BD∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角∵HDEA,EAFB∴HDFB∥=∥=∥=则AH=HF=FA∴△AFH为等边△

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