新教材高中数学人教版必修第一册：5.7《三角函数的应用》精讲(含解析)

5.7三角函数的应用思维导图常见考法考点一模型y=Asin(wx+ψ)+B【例1】（2020·上海静安·高一期末）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.（1）求的值；（2）求这段时间水深（单位：）的最大值.【答案】（1）；（2）这段时间水深的最大值是. 【解析】（1）图知：，因为，所以，解得：.（2）.所以，这段时间水深的最大值是.【一隅三反】1．（2020·浙江高一课时练习）设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的关系：时03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图像可以近似地看成函数的图像.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在给定的四个选项中，我们不妨代入及，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A，故选A.2．（2020·高一月考）海水具有周期现象，某海滨浴场内水位y（单位：m）是时间t（，单位：h）的函数，记作，下面是某天水深的数据：t03691215182124y21.511.521.511.52经长期观察，的曲线可近似的满足函数.（1）根据以上数据，求出函数一个近似表达式； （2）一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7:00到晚上19:00，有多长时间可以开放?【答案】（1）；（2）.【解析】（1），∴，，，过点，∴，则，∴，∴的一个解析式可以为.（2）由题意得：即，，或，解得或，又，解得，又∵∴，所以开放时间共4h.考点二圆周运用【例2】（2020·浙江高一课时练习）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置.若初始位置为，当秒针从（注此时）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为 A．B．C．D．【答案】C【解析】时刻，经过的圆弧角度为，则以轴正方向为始边，所在射线为终边，对应的角度为，则对应的角度为，由可知在单位圆上，所以时刻的纵坐标，故选C【一隅三反】1．（2020·浙江高一课时练习）一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于()A．30sin＋30B．30sin＋30C．30sin＋32D．30sin【答案】B【解析】过点作地面平行线，过点作的垂线交于D点．点在 上逆时针运动的角速度是，∴分钟转过的弧度数为，设，当时，，，当时，上述关系式也适合．故．2．（2020·株洲市九方中学月考）随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大.如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在BC和CD上的长方形停车场PQCR.（1）设，试写出停车场PQCR的面积S与的函数关系式；（2）求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值（数据精确到个位）.（注：当时，）【答案】（1）（2）最大值是1322平方米，最小值是950平方米. 【解析】（1）∵，延长RP交AB于M，则，，∴..故矩形PQCR的面积为：..（2）令，则.∴.故当时，，当时，.所以长方形停车场PQCR面积的最大值是1322平方米，最小值是950平方米.3．（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在弧上（异于点)，过点做，垂足分别为，记，四边形的周长为.（1）求关于的函数关系式；（2）当为何值时，有最大值，并求出的最大值. 【答案】（1）；（2）时，.【解析】（1），，（2），，当时，，所以时，.