新教材高中数学人教版必修第一册：3.2《函数的性质》精讲(含解析)

3.2函数的性质思维导图 常见考法 考法一性质法求单调性（单调区间）【例1】（2020·全国高一课时练习）函数的减区间是（）A．B．C．，D．【答案】C【解析】由图象知单调减区间为， 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接【一隅三反】1.函数的单调递减区间为　　A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是故选：A．2．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　)A.y＝1B.y＝－＋2C.y＝－x2－2x－1D.y＝1＋x2【答案】B【解析】y=1在区间（－∞,0）上不增不减;y=－+2在区间（－∞,0）上单调递增;y=－x2－2x－1在区间（－∞,0）上有增有减;y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B.3．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是(　　)A.递减函数B.递增函数C.先递减再递增D.先递增再递减【答案】C【解析】由于二次函数的开口向上，并且对称轴方程为x=3,所以函数在(2,4)上是先减后增.考法二定义法求单调性（单调区间）【例2】（2020·全国高一课时练习）求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.【答案】证明见详解.【解析】证明：在区间上任取，则因为，故可得；又因为，故可得. 故，即.故在区间上单调递增.直接利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）证明在其定义域上是增函数.【答案】证明见解析；【解析】证明：函数的定义域为设且，因为，所以，所以，即所以在其定义域上是增函数.2．（2020·浙江高一课时练习）用定义法证明函数在定义域内是减函数．【答案】见解析【解析】设在R上任取两个数x1，x2，且x1>x2；则f（x1）–f（x2）=–x1–（–x2）=–+（x2–x1）=+（x2–x1）=（x1–x2）（–1）∵x1>x2，∴x1–x2>0，–1