浙教版八年级数学上册《2.3等腰三角形的性质定理》一练习 (含答案)

2.3等腰三角形的性质定理(一)A组1．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(C)A．36°B．60°   C．72°   D．108°(第1题)    (第2题)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(B)A．30°B．45°C．50°D．75°3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为(A)A．40°B．30°C．70°D．50°(第3题)    (第4题)4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是(D)A．①②③B．②③④C．①③⑤D．①③④ (第5题)5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为(D)A．50°B．51°C．51．5°D．52．5°(第6题)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．【解】 ∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠A＝36°．∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°．(第7题)7．如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．【解】 ∵D是AB的中点，∴BD＝AD．由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D．∴∠BA′D＝∠B＝50°．∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°．(第8题)8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．【解】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． 同理，∠ADE＝∠AED．设∠EDC＝α，∠C＝β，则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β．∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°．B组(第9题)9．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)A．44°B．66°C．88°D．92°【解】 ∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．在△AMK和△BKN中，∵∴△AMK≌△BKN(SAS)．∴∠AMK＝∠BKN．∵∠MKB＝∠MKN＋∠BKN＝∠A＋∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°．10．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…．若∠A＝70°，则∠Bn－1AnAn－1的度数为(C)(第10题)A．°B．°C．°D．°【解】 在△ABA1中，∵∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝∠A＝70°．∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝＝35°．同理，∠B2A3A2＝∠B1A2A1＝，∠B3A4A3＝∠B2A3A2＝，…， ∴∠Bn－1AnAn－1＝＝°．11．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，BD交于点O，求∠AOB的度数．(第11题)【解】 设AC与BD交于点H．∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，∴△DCB≌△ACE(SAS)，∴∠CDB＝∠CAE．又∵∠DCH＋∠DHC＋∠CDB＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠AHO，∴∠AOH＝∠DCH＝60°．∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．(1)求证：OB＝OC．(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．(第12题)【解】 (1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠CDB＝90°．又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB(AAS)，∴BE＝CD．又∵∠BOE＝∠COD，∠BEO＝∠CDO＝90°，∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OB＝OC．(2)连结DE．∵∠ABC＝70°，AB＝AC，∴∠A＝180°－2×70°＝40°． ∵∠A＋∠AED＋∠ADE＝180°，∠OED＋∠ODE＋∠DOE＝180°，∴∠A＋∠AEO＋∠ADO＋∠DOE＝360°．又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，∴∠A＋∠DOE＝180°，∴∠BOC＝∠DOE＝180°－40°＝140°．(第13题)13．如图，在△ABC中，已知BC＝AC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D．若∠ADC＝∠CAD，求∠ABC的度数．(第13题解)【解】 如解图，设∠ABC＝x，∠CAD＝y，则∠ACD＝2x，∠ADC＝∠CAD＝y，∴解得∴∠ABC＝36°．数学乐园14．(1)已知在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．(2)已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．(第14题)导学号：91354010【解】 (1)如解图①②(共有2种不同的分割法)．(第14题解) (第14题解③)(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D．在△DBC中，①若∠C是顶角，如解图③，则∠CBD＝∠CDB＝90°－x，∠A＝180°－x－y．故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－∠C．②若∠C是底角，第一种情况：如解图④，当DB＝DC时，∠DBC＝x．在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x．若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C．若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C．若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．,④),⑤)(第14题解)第二种情况：如解图⑤，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝∠BDC＝∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°(∠C是小于45°的任意锐角)．