山东省枣庄市2021届高三下学期4月模拟考试（二模）数学（含答案）

枣庄市2021届高三下学期4月模拟考试（二模）数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A＝，B＝，则AB＝A．(0，2]B．[0，2]C．{1，2}D．{0，1，2}2．命题“，”的否定为A．，B．，C．，D．，3．已知函数，则＝A．B．2eC．D．4．已知点(1，1)在抛物线C：上，则C的焦点到其准线的距离为A．B．C．1D．25．大数学家欧拉发现了一个公式：，i是虚数单位，e为自然对数的底数．此公式被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A．1B．﹣1C．iD．﹣i6．若，则＝A．20B．﹣20C．15D．﹣157．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x~N(0.9372，0.01392)．若x~N(，2)(＞0)，则P(﹣2＜x≤＋2)＝0.9545，P(﹣3＜x≤＋3)＝0.9973，0.9772550≈0.3164．有如下命题：甲：P(x≤0.9)＜0.5；乙：P(x＜0.4)＞P(x＞1.5)；丙：P(x＞0.9789)＝0.00135 ；丁：假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于＋2的数量，则P(X≥1)≈0.6．其中假命题是A．甲B．乙C．丙D．丁8．已知椭圆C与双曲线有相同的左焦点F1、右焦点F2，点P是两曲线的一个交点，且．过F2作倾斜角为的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方），且，则的值为A．B．C．D．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知，，，则A．B．C．D．10．已知函数，则A．在[，]上的最小值是1B．的最小正周期是C．直线是图象的对称轴D．直线与的图象恰有2个公共点11．列昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci，1170—1250年)是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：，．斐波那契数列在生活中有着广泛的应用，美国13岁男孩AidanDwyer观察到树枝分叉的分布模式类似斐波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方法．苹果公司的Logo设计，电影《达芬奇密码》等，均有斐波那契数列的影子．下列选项正确的是A．B．C． D．12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点P是△B1CD1内部（不包括边界）的动点．若BD⊥AP，则线段AP长度的可能取值为A．B．C．D．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则抽取的高中生中近视人数为．14．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD中，，设，则的值为．第13题第14题15．写出一个图象关于直线对称且在[0，2]上单调递增的偶函数＝．16．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破．为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠．该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；方案二：一次性付款购买．若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省元．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知数列中，，且．记，求证：（1）是等比数列； （2）的前项和满足．18．（本小题满分12分）若(，)的部分图象如图所示，，．（1）求的解析式；（2）在锐角△ABC中，若A＞B，，求，并证明．19．（本小题满分12分）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面与直线AA1交于点E．（1）找到点E的位置，作出截面（保留作图痕迹），并说明理由；（2）已知CF＝a，求将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比．20．（本小题满分12分） 天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越．为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．（1）求甲获得的奖金X的分布列及均值；（2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）21．(本题满分12分)已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C．（1）求C的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR（Q、R为切点），N为弦QR的中点，直线l：分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围．22．(本题满分12分)已知函数，且．（1）求实数的值，并判断在(0，)上的单调性； （2）对确定的，求在[，]上的零点个数．山东省枣庄市2021届高三第二次模拟测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A＝，B＝，则AB＝A．(0，2]B．[0，2]C．{1，2}D．{0，1，2}答案：C解析：集合A＝＝(0，)，B＝＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，所以AB＝{1，2}，故选C．2．命题“，”的否定为A．，B．，C．，D．，答案：C解析：全称量词的否定，首先全称量词改为存在量词，其次否定结论，故选C．3．已知函数，则＝A．B．2eC．D．答案：A解析：，故选A．4．已知点(1，1)在抛物线C：上，则C的焦点到其准线的距离为A．B．C．1D．2答案：B 解析：因为点(1，1)在抛物线C上，所以1＝2p，p＝，故C的焦点到其准线的距离为，故选B．5．大数学家欧拉发现了一个公式：，i是虚数单位，e为自然对数的底数．此公式被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A．1B．﹣1C．iD．﹣i答案：D解析：，故选D．6．若，则＝A．20B．﹣20C．15D．﹣15答案：B解析：，，故选B．7．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x~N(0.9372，0.01392)．若x~N(，2)(＞0)，则P(﹣2＜x≤＋2)＝0.9545，P(﹣3＜x≤＋3)＝0.9973，0.9772550≈0.3164．有如下命题：甲：P(x≤0.9)＜0.5；乙：P(x＜0.4)＞P(x＞1.5)；丙：P(x＞0.9789)＝0.00135；丁：假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于＋2的数量，则P(X≥1)≈0.6．其中假命题是A．甲B．乙C．丙D．丁答案：D解析：对于丁，P(X≥1)＝，故假命题是丁，选D．8．已知椭圆C与双曲线有相同的左焦点F1、右焦点F2，点P是两曲线的一个交点，且．过F2作倾斜角为的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方），且，则的值为A．B．C．D．答案：A 解析：首先求出椭圆C的离心率是e＝，因为，所以，＞2，所以，解得，故选A．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知，，，则A．B．C．D．答案：BCD解析：首先可得0＜b＜1，当，时，，故A错误；经判断，其他选项均正确，故选BCD．10．已知函数，则A．在[，]上的最小值是1B．的最小正周期是C．直线是图象的对称轴D．直线与的图象恰有2个公共点答案：ACD解析：，，而，故的最小正周期是，B错误；当x[，]时，，此时[，]，所以[1，2]，故A正确；，作出的图像，再作出直线的图像，可以判断出C、D都正确，故选ACD．11．列昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci，1170—1250年)是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足： ，．斐波那契数列在生活中有着广泛的应用，美国13岁男孩AidanDwyer观察到树枝分叉的分布模式类似斐波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方法．苹果公司的Logo设计，电影《达芬奇密码》等，均有斐波那契数列的影子．下列选项正确的是A．B．C．D．答案：BD解析：选项A，，，显然，A错误；选项C，当n＝3时，，，故，C错误．故选BD．12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点P是△B1CD1内部（不包括边界）的动点．若BD⊥AP，则线段AP长度的可能取值为A．B．C．D．答案：ABC解析：根据BD⊥平面ACC1A1，设O1为A1C1与B1D1的交点，则平面ACC1A1平面B1CD1＝O1C，故点P在线段O1C上运动，求得O1A＝O1C＝，AC＝，点A到O1C的距离为，故≤AP＜，故选ABC．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则抽取的高中生中近视人数为． 答案：20解析：2000×50%×2%＝20（人）14．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD中，，设，则的值为．答案：解析：连接BD交AF于点M，令BF＝1，则AF＝3，tan∠FBM＝tan(∠ABF﹣45°)＝，所以FM＝，AM＝，根据等和线知识可得．15．写出一个图象关于直线对称且在[0，2]上单调递增的偶函数＝．答案：答案不唯一，开放性试题，符合题意的均给分解析：；；，[4k﹣2，4k＋2]，Z；，[4k﹣2，4k＋2]，Z等（符合题意的均给分，注意不正确）16．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破．为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠．该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；方案二：一次性付款购买．若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省元．答案：700解析：3150÷0.9＝3500，(4850﹣4500)÷0.7＋5000＝5500，3500＋5500＝9000，4500＋4000×0.7＝7300，3150＋4850﹣7300＝700．四、解答题（本大题共6小题，共计70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知数列中，，且．记，求证：（1）是等比数列；（2）的前项和满足．解：（1）证明：由，得，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）知，，于是，因为，所以．18．（本小题满分12分）若(，)的部分图象如图所示，，．（1）求的解析式；（2）在锐角△ABC中，若A＞B，，求，并证明．解：（1）由，得，又，故， 由，得，所以，即，由，结合函数图象可知，所以，所以有，即，又，所以，从而，因此，；（2）由，得，又，故，于是，又，所以，又在上单调递增，，所以．19．（本小题满分12分）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面与直线AA1交于点E．（1）找到点E的位置，作出截面（保留作图痕迹），并说明理由； （2）已知CF＝a，求将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比．解：（1）在正方形中，过F作FG∥DC，且交棱于点G，连接AG，在正方形内过作，且交棱于点E，连接，则四边形就是要作的截面，理由：由题意，平面，，平面平面，应有，同理，，所以四边形应是平行四边形，由作图过程，又所以，所以四边形ABFG是平行四边形，所以AG∥BF，AG＝BF，由作图过程，，又EA∥，所以四边形是平行四边形，所以又，所以，且，所以四边形是平行四边形，四边形就是要作的截面；方法不唯一，其他方法正确的一律给分，（2）由题意，，由（1）的证明过程，可得，连接，则平面将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥 与四棱锥的组合体，该正方体的体积所以20．（本小题满分12分）天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越．为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．（1）求甲获得的奖金X的分布列及均值；（2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）解：（1）分别用A，B，C表示做对题目A，B，C的事件，则A，B，C相互独立，由题意，X的可能取值为0，1000，3000，6000P(X＝0)＝P()＝0.2；P(X＝1000)＝P(A)＝0.8×0.4＝0.32P(X＝3000)＝＝0.8×0.6×0.6＝0.288P(X＝6000)＝P(ABC)＝0.8×0.6×0.4＝0.192所以甲获得的奖金X的分布列为：E(X)＝0×0.2＋1000×0.32＋3000×0.288＋6000×0.192＝2336；（2）改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同，决策的原则是选择期望值E(X)大的做题顺序，这称为期望值原则，做对的概率大表示题目比较容易，做对的概率小表示题目比较难．猜想：按照由易到难的顺序做题，即按照题目A，B，C的顺序做题，得到奖金的期望值最大．21．(本题满分12分)已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C．（1）求C的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR（Q、R为切点） ，N为弦QR的中点，直线l：分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围．解：（1）设，由，得，化简得，即，故C是以(﹣1，0)为圆心，半径为2的圆，（2）设，又，则DP的中点为，以线段DP为直径的圆的方程为，整理得由题意，Q、R在以DP为直径的圆上，又Q、R在C：上，由，得，所以，切点弦QR所在直线的方程为可见QR恒过坐标原点O(0，0)，由消去x并整理得设，则，点N纵坐标，因为，显然，所以点N与点D(﹣1，0)，O(0，0)均不重合，因为N为弦QR的中点，且D(﹣1，0)为圆C的圆心，由圆的性质，可得DN⊥QR，即DN⊥ON，所以点N在以OD为直径的圆上，圆心为G(，0)，半径r＝，因为直线分别与x轴、y轴交于点E、F， 所以，因此，圆心到直线的距离，设△NEF的边EF上的高为h，则点N到直线的距离h的最小值为；点N到直线的距离h的最大值为．S的最小值，最大值．因此△NEF的面积S的取值范围是．22．(本题满分12分)已知函数，且．（1）求实数的值，并判断在(0，)上的单调性；（2）对确定的，求在[，]上的零点个数．解：（1）函数的定义域为R，所以，由题意，，即于是，当时，所以在(0，)上单调递增；（2）因为，所以与在上有相同的零点， 当时，又，所以，所以，当时，单调递减，又由零点存在性定理及的单调性，知在上有且仅有一个零点，所以在上恰有一个零点．