2021年高考适应性训练数学试题（一）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合是的非空子集，且，则必有A．B．C．D．2．若复数，则A．1B．C．D．3．已知向量，的夹角为，且，，则A．B．C．D．4．的展开式中项的系数A．B．C．D．5．
劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定了社会主义建设者和接班人的劳动价值取向、劳动精神面貌和劳动技能水平．新学期到来，某大学开出了烹饪选修课，共18学时，面向2020级本科生和强基计划学生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：“小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．”乙说：“小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．”丙说：“小华选的不是烹制中式面食，也不是青椒土豆丝．”已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容A．可能是青椒土豆丝B．可能是川菜干烧大虾C．可能是烹制西式点心D．一定是烹制中式面食ABCDEF6．《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵.今有如图所示的堑堵形状容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占的A．B．C．D．7．已知､分别是双曲线的左､右焦点，双曲线的右支上一点满足，直线与该双曲线的左支交于点，且恰好为线段的中点，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．8．已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为A．2B．3C．4D．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是
A．弦的中点轨迹是圆B．直线的交点在定圆上C．线段长的最大值为D．的最小值10．如图，四棱锥的底面是边长为正方形，底面，，分别为的中点，过的平面与交于点，则PABCDEF·A．B．C．以为球心，为半径的球面与底面的交线长为D．四棱锥外接球体积为11．已知，则A．的最大值是B．的最小值是C．D．12．巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由欧拉在1735年解决.由于这个问题难倒了以前许多的数学家，欧拉一解出这个问题，马上就出名了，当时他28岁.这个问题是精确计算所有平方数倒数的和，也就是以下级数的和.巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，欧拉发现的准确值是.不过遗憾的是：若把上式中的指数换成其他的数，例如，则的精确值为多少，至今未解决.下列说法正确的是A．所有正奇数的平方倒数和为B．记，则的值为
C．的值不超过D．记，则存在正常数，使得对任意正整数，恒有三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为第四象限角，，则的值为．14．某新闻采访组由名记者组成，其中甲、乙、丙、丁为成员，戊为组长.甲、乙、丙、丁分别来自四个地区.现在该新闻采访组要到四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有种．15．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为__________．16．某校数学兴趣小组，在研究随机变量的概率分布时，发现离散型随机变量的取值与其概率的函数关系为，则这个随机变量的数学期望______________________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知为等比数列的前n项和，若，且是等差数列的前三项.（1）求数列的前n项和；（2）求数列的通项公式，并求使得的的取值范围.18．（12分）在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求A；
（2）若，求周长的取值范围.19．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①；②；③点在平面的射影在直线上．如图，平面五边形中，是边长为的等边三角形，，，，将沿翻折成四棱锥，是棱上的动点（端点除外），分别是的中点，且.（1）求证：；（2）当与平面所成角最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.BAPCD注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．MEFABCPD20．（12分）平面上一动点的坐标为.（1）求点轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线相交于不同的两点，线段的中垂线与直线相交于点，与直线相交于点.当时，求直线的方程.21．（12分）
十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？附：.
22．（12分）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性，并证明：；（2）若函数与的图象恰有三个不同的交点，求实数的取值范围.
2021年高考适应性训练数学试题（一）参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案AACDBCCBUPS解析：1.依据题意画出Venn图，观察可知，故选A.2.，所以，故选A.3.因为，所以，故选C.4.，则项的系数为，故选D.5.若小华选择的青椒土豆丝，则甲、乙、丙都各对一半，排除；若小华选择的川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，符合；若小华选择的制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合，排除；若小华选择的烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，符合；由此推断小华选择的内容可能是川菜干烧大虾或烹制中式面食.所以选B.6.水的一半就是体积的一半，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，底面积变为一半，底面是等腰直角三角形，所以边长变为AB的，所以水面高度占AB的，故选C.7.依题意可得，所以.设，则，，由得；由得；在中，由得，得.
在中，由得，将代入得，即.又，所以，即，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，故选C.8.，即.由于对任意恒成立，所以.令，，.令，，所以在上单调递增，所以，可得，所以在上单调递增.所以.又，所以，故选B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。题号9101112答案ABDACBCABC解析：9.对于选项A：设，因为，为弦的中点，所以.而，半径为，则圆心到弦的距离为.又圆心，所以，即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确；对于选项B：由，消去可得，
得，选项B不正确；对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：，又由选项B知，点的轨迹方程为：，所以，线段，故选项C正确；对于选项D：，故，由选项C知，，MAPBCDHEFG所以，故选项D正确.综上选ABD.10.对于选项A，延长交延长线于点，连接交于点，取中点，连接，所以，，，，所以选项A对；对于选项B，因为是中点，是靠近点的三等分点，所以选项B错；对于选项C，为球心，为半径，，平面，为截面圆心，交线是半径为的圆的，交线长为，所以选项C正确.对于选项D，是正方体的一部分，体对角线长为，体积为，所以选项D错.综上选AC.11.对于选项A，因为，所以，选项A错误；对于选项B，因为，当且仅当，即时等号成立，所以选项B正确；
对于选项C，因为，所以，，故选项C正确；对于选项D，设，则，所以在上单调递增；因为，所以，即，所以，即，故选项D错误.综上选BC.12.对于选项A，记，，所以，，选项A正确；对于选项B，，选项B正确；对于选项C，注意到时，，，选项C正确；对于选项D，因为，令，得，所以，即，所以选项D错.综上选ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.13.15.16.解析：13.由，展开得，平方得，
所以，从而.因为为第四象限角，所以，解得，，则.14.分两类：①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有；②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有.所以总数.15.因为抛物线方程为，所以焦点，准线.设，直线方程为，代入抛物线方程消去，得，所以.又过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设，可得，因为，所以，得到，所以.因为，所以，解之得，所以，直线方程为，即.
16.由离散型随机变量分布列性质：，，即，所以.则，所以，①，②由①+②得：，，，所以.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）解：（1）设等比数列的公比为，由是等差数列的前三项，得，即，………………………………………………2分所以，整理得，解得.………………………………………………3分由，得，所以，……………………………………………4分所以.………………………………………………5分（2）由（1）得，所以，，
所以等差数列的前三项为，所以.……………………………………………6分由，得，即.……………………………7分令，故有.当时，，即；………………………………8分当时，，即，而.所以使得的的取值范围是，.…………………………………10分18.（12分）解：（1）由条件知，……………………1分所以，……………………………2分即，解得.……………………………………………………………………3分因为，所以.……………………………………………4分（2）由正弦定理得，……………………………5分所以，………………………………………………………6分所以…………………7分.………………………………………………9分
因为，所以，……………………………………10分所以，……………………………………………………………11分所以.……………………………………………………………12分19.（12分）解：（1）取的中点分别为，连接.选择①：因为，，所以，即.………………………………………………1分又，，所以平面.………………………………………………2分因为分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面.………………………………………………3分同理可得：平面.因为，所以平面平面，………………………………………………4分所以平面.………………………………………………5分又平面，所以.……………………………………………6分选择②：连接，则，，因为，所以.………………………………………………1分又，，所以平面.………………………………………………2分因为分别为的中点，所以，且平面，平面，
所以平面.………………………………………………3分同理可得：平面.因为，所以平面平面，………………………………………………4分所以平面.………………………………………………5分又平面，所以.……………………………………………6分选择③：因为点在平面的射影在直线上，所以平面平面.………………………………………………1分因为平面平面，平面，，所以平面，所以.………………………………………………2分又，，所以平面.………………………………………………3分因为分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面.………………………………………………4分同理可得：平面.因为，所以平面平面，………………………………………………5分所以平面.又平面，所以.……………………………………………6分xMEFABCPDOGyzMEFABCPDOG（2）连接，由（1）可知：平面，所以即为与平面所成的角.
因为，所以当最小时，最大，所以当，即为中点，最小.……………………………………7分以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.所以，.…………………………8分设平面的法向量为，则，令，得.…………………………9分由题意可知：平面的法向量为，……………………………10分所以，…………………………………………11分所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.…………………12分20.（12分）解：（1）设，则，即，………………………………………1分所以，所以的方程为.…………………………………………………2分（2）由题意知，直线的斜率不为，设直线，.
联立，消去，得，……………………3分此时，且，.…………………4分又由弦长公式得，整理得.…………………………………………6分又，所以，……………………………7分所以，………………………………9分所以，所以，即.…………………………………………………11分综上，当，即直线的斜率为时，，此时直线为.……………………………………………………………12分21.（12分）解：（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为.………………………2分②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，由己知得，，………………………3分则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，.………………………5分（2）个芯片中恰有个不合格的概率.因此，
令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.…………………………………7分由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人）开机速度满意度芯片批次合计IJ不满意12315满意285785合计4060100………………………………8分根据列联表得………………………9分.…………………………11分因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.………12分22.（12分）解：（1）当时，.所以，所以在上是单调递减函数.……………………………………………1分又，所以当时，，即.………………………………2分令，则
，……………………………………………………3分从而，……………………………………………………4分所以.…………………5分（2）令，所以.设，则.①当，即时，，所以在单调递减，所以不可能有三个不同的零点；…………………………………………………6分②当，即时，有两个零点，，所以.又因为开口向下，所以当时，，即，所以在上单调递减；当时，，即，所以在上单调递增；当时，，即，所以在上单调递减.…………………………………………………7分
因为，且，所以，所以.…………………………………………………8分因为，所以令，则.所以在单调递增，所以，即.又，所以，所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点.…………………………………………………10分因为，且，所以.…………………………………………………11分又，
所以，所以在区间上有唯一的一个零点，故当时，存在三个不同的零点.故实数的取值范围是.…………………………………………………12分
微信/支付宝扫码支付