苏科版数学九年级上册期末模拟试卷九（含答案）

苏科版数学九年级上册期末模拟试卷一、填空题1．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1=0是一元二次方程，则m取值范围是　　　　　　．2．如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是　　　　　　．3．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为　　　　　　．4．一元二次方程（x﹣4）2=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　．5．一组数据1、3、5、7的方差是　　　　　　．6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是　　　　　　．7．若关于x的方程x2﹣2x﹣a=0有一个根为﹣1，则方程的另一根为　　　　　　．8．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=35°，则∠BAD=　　　　　　°．9．若一个圆锥的底面半径长是10cm，母线长是18cm，则这个圆锥的侧面积=　　　　　　（结果保留π）．10．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O、B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴．若AC=米，则水面宽度CD=　　　　　　米． 11．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值范围是　　　　　　．12．已知二次函数y=x2﹣ax﹣1，若0＜a≤，当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是　　　　　　（用含a的代数式表示）．二、选择题13．某学校规定学生的数学成绩由三部分组成，期末考试成绩占70%，期2016届中考试成绩占20%，平时作业成绩占10%，某人上述三项成绩分别为90分，85分，90分，则他的数学成绩是（　　）A．89分B．88.5分C．85.5分D．84分14．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC的值为（　　）A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm15．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠016．如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（　　） A．B．C．D．17．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（　　）A．5B．4C．3D．2三、解答题18．解下列方程：（1）（x﹣1）2=9（2）x2﹣4x+3=0．　19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4．（1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧的度数和的长．　 20．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如下：九（1）班：92，93，93，93，93，93，97，98，98，100九（2）班：91，93，93，93，96，97，97，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：班级最高分平均分中位数众数方差九（1）班100m93937.6九（2）班9995.596.5n6.85（1）直接写出表中m、n的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由．　21．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．　 22．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3=0．（1）证明：当m取不等于0的任何数时，此方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．　23．如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．（1）求证：△BOC≌△CDA；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．　24．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价2元，每天的销售量会减少8件．（1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？（2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价﹣进价）×售出件数）　 25．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD=8，EB=4，求⊙O的直径．　26．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y=﹣x2+3x﹣2函数可知a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y1=x2﹣x+n与y2=﹣x2+mx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2016的值；（3）已知函数y=（x﹣1）（x+4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=（x﹣1）（x+4）互为“旋转函数”．　 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a（x+1）（x﹣3）（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为M，经过点A的直线l：y=ax+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D．（1）直接写出点A的坐标　　　　　　、点B的坐标　　　　　　；（2）如图（1），若顶点M的坐标为（1，4），连接BM、AM、BD，请求出二次函数及一次函数的解析式，并求出四边形ADBM的面积；（3）如图（2），连接DM，当a为何值时，直线DM与x轴的夹角为45°？（4）如图（3），点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为时，请直接写出此时E点的坐标．　　 参考答案1．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1=0是一元二次方程，则m取值范围是　m≠1　．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1=0是一元二次方程，∴m﹣1≠0，解得：m≠1，故答案为：m≠1．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．　2．如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是　　．【考点】几何概率．【分析】先确定黑色区域的面积与总圆面面积的比值，此比值即为所求的概率．【解答】解：观察这个图可知：黑白石子的面积相等，即其概率相等，各占．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．　3．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为　y=（x﹣1）2﹣2　．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．【解答】解：∵抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，∴平移后的解析式为：y=（x﹣1）2﹣2． 故答案为：y=（x﹣1）2﹣2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题关键．　4．一元二次方程（x﹣4）2=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　12　．【考点】解一元二次方程-直接开平方法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】首先利用直接开平方法解出一元二次方程的解，再根据等腰三角形的特点计算出周长即可．【解答】解：（x﹣4）2=0，两边直接开平方得：x﹣4=0，解得：x1=x2=4，等腰三角形的周长为4×3=12，故答案为：12．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，以及等腰三角形的性质，关键是掌握直接开方法求一元二次方程的解．　5．一组数据1、3、5、7的方差是　5　．【考点】方差．【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，进行计算即可．【解答】解：数据的平均数=（1+3+5+7）=4，方差s2=[（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]=5．则一组数据1、3、5、7的方差是5．故答案为：5． 【点评】本题考查了方差的定义，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．　6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是　120°　．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的对角互补解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠DAB=180°，又∠DAB=60°，∴∠BCD=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．　7．若关于x的方程x2﹣2x﹣a=0有一个根为﹣1，则方程的另一根为　3　．【考点】根与系数的关系．【分析】设另一根为x，由根与系数的关系得两根之和等于2，解方程求得．【解答】解：由题意方程有一个根为﹣1设另一根为x，则﹣1+x=2，解得x=3．故答案为3．【点评】本题考查了根与系数的关系，本题由两根之和等于2进行求解．　8．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=35°，则∠BAD=　55　°． 【考点】圆周角定理．【分析】由在⊙O中，AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，又由圆周角定理可得∠B=∠ACD，继而求得答案．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=35°，∴∠BAD=90°﹣∠B=55°．故答案为：55．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．注意掌握直径对的圆周角是直角是解此题的关键．　9．若一个圆锥的底面半径长是10cm，母线长是18cm，则这个圆锥的侧面积=　180π　（结果保留π）．【考点】圆锥的计算．【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：圆锥的底面周长是：2×10π=20π，则×20π×18=180π．故答案为：180π．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．　10．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O、B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴．若AC=米，则水面宽度CD=　180　米． 【考点】二次函数的应用．【专题】推理填空题．【分析】根据桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，AC=米，可知点C的纵坐标，然后代入抛物线解析式可以求得点C和点D对应的点的横坐标，从而可以求得宽度CD的长度．【解答】解：∵桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，AC=米，∴点C对应的纵坐标为：﹣，将y=﹣代入y=﹣+16，得，解得x1=﹣10，x2=170，宽度CD=170﹣（﹣10）=180米．故答案为：180．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．　11．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值范围是　m≤4　．【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】结合图象可得y≥﹣4，即ax2+bx≥﹣4，由ax2+bx+m=0可得ax2+bx=﹣m，则有﹣m≥﹣4，即可解决问题．【解答】解：由图可知：y≥﹣4，即ax2+bx≥﹣4，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=﹣m，∴﹣m≥﹣4，∴m≤4．故答案为：m≤4．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，与一元二次方程之间的关系、解一元一次不等式等知识，利用数形结合的思想是解决本题的关键．　12．已知二次函数y=x2﹣ax﹣1，若0＜a≤，当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是　﹣﹣1＜y＜a　（用含a的代数式表示）．【考点】二次函数的性质．【分析】首先进行配方，根据a的取值范围求出函数的最小值，然后结合对称轴的区间范围求出二次函数的最大值．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣ax﹣1，∴y=（x﹣）2﹣﹣1，∴当x=时y有最小值为﹣﹣1，∵二次函数的对称轴是x=，而0＜a≤，∴其对称轴在x轴的正半轴，∴当x=﹣1时有最大值为a，∴当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是﹣﹣1＜y＜a．故答案为﹣﹣1＜y＜a．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是根据a的取值范围确定对称轴的区间范围，此题有一定的难度．　二、选择题（每题3分，共15分） 13．某学校规定学生的数学成绩由三部分组成，期末考试成绩占70%，期2016届中考试成绩占20%，平时作业成绩占10%，某人上述三项成绩分别为90分，85分，90分，则他的数学成绩是（　　）A．89分B．88.5分C．85.5分D．84分【考点】加权平均数．【分析】根据数学成绩=期末考试成绩×所占的百分比+期2016届中考试成绩×所占的百分比+平时作业成绩×所占的百分比即可求得该学生的数学成绩．【解答】解：该学生的数学成绩：90×70%+85×20%+90×10%=63+17+9=89（分）．答：他的数学成绩是89分．故选：A．【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求90，85，90这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．　14．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC的值为（　　）A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OC的长即可．【解答】解：连接OA，∵弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=3cm．∵OA=5cm，∴OC===4cm．故选C． 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．　15．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．　16．如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（　　）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象． 【分析】根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．【解答】解：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选：B．【点评】（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．　17．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）； ⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（　　）A．5B．4C．3D．2【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确． 故选：C．【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．　三、解答题18．解下列方程：（1）（x﹣1）2=9（2）x2﹣4x+3=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）利用直接开方法解一元二次方程即可．（2）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2=9，∴x﹣1=±3，∴x1=4，x2=﹣2；（2）∵x2﹣4x+3=0∴（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x﹣1=0或x﹣3=0，∴x1=1，x2=3．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．　19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4．（1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧的度数和的长． 【考点】作图—复杂作图；弧长的计算．【分析】（1）直接利用过不在同一直线上的三点作圆的方法得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出∠B的度数，再利用弧长公式得出答案．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；（2）连接CO，∵∠ACB=90°，AC=2，AB=4，∴sinB=，∴∠B=30°，∴CO=BO，∴∠OCB=∠B=30°，∴∠COB=120°，∴劣弧的度数为120°，∵AB=4，∴BO=2，∴的长为：=．【点评】此题主要考查了复杂作图以及弧长公式，正确掌握作三角形外接圆的方法是解题关键．　20．某校2016届九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如下： 九（1）班：92，93，93，93，93，93，97，98，98，100九（2）班：91，93，93，93，96，97，97，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：班级最高分平均分中位数众数方差九（1）班100m93937.6九（2）班9995.596.5n6.85（1）直接写出表中m、n的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由．【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．【分析】（1）求出九（1）班的平均分确定出m的值，根据众数的定义求出n的值；（2）分别从平均分，方差等方面，写出支持九（2）班成绩好的原因．【解答】解：（1）m=（92+93+93+93+93+93+97+98+98+100）=95；∵93出现了3次，出现的次数最多，∴众数n是93；（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成绩比九（1）班稳定；故支持九（2）班成绩好．【点评】此题考查了平均数、众数、方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立；众数是一组数据中出现次数最多的数．　21．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之和大于5的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否． 【解答】解：这个游戏对双方不公平．理由：列表如下：12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的情况有16种，其中数字之和大于5的情况有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6种，故小颖获胜的概率为：=，则小丽获胜的概率为：，∵＜，∴这个游戏对双方不公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．　22．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3=0．（1）证明：当m取不等于0的任何数时，此方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】①首先判定m不等于0，然后根据根的判别式的意义判断根的情况；②首先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据方程两根为不相等的正整数根即可求出m的值．【解答】解：①∵一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3=0，∴m≠0，∴△=（m+3）2﹣12m=（m﹣3）2≥0，∴当m取不等于0的任何数时，此方程总有实数根；②∵mx2﹣（m+3）x+3=0，∴（x﹣1）（mx﹣3）=0，∴x1=1，x2=，∴当m=1时，x2=3． 故当m为1时，方程有两个不相等的正整数根．【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的定义的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．　23．如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．（1）求证：△BOC≌△CDA；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．【分析】（1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=AB=，得出OH=BH=1，OB=2OH=2，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可．【解答】（1）证明：如图1所示：∵O是等边△ABC的外心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AD=CD，∵四边形OADC为平行四边形，∴四边形OADC为菱形， ∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，而∠1=∠5，∴OA=OC，∠2=∠3，∴OB=OC，∴点O为△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，∵四边形OADC为平行四边形，∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，∴AD=OB，在△BOC和△CDA中，，∴△BOC≌△CDA（SAS）；（2）解：作OH⊥AB于H，如图2所示，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°，∵OH⊥AB，∴BH=AH=AB=，OH=BH=1，OB=2OH=2，∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣×2×1=π﹣． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、垂径定理、扇形面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．　24．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价2元，每天的销售量会减少8件．（1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？（2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价﹣进价）×售出件数）【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论；（2）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．【解答】解：（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意得：（x﹣5）[32﹣×8（x﹣9）]=140，解得：x1=12，x2=10，答：售价定为12元或10元时，每天的利润为140元；（2）根据题意得；y=（x﹣5）[32﹣（x﹣9）]，即y=﹣4x2+88x﹣340；y=﹣4（x﹣11）2+152，故当x=11时，y最大=152元，答：售价为11元时，利润最大，最大利润是152元． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润=（售价﹣进价）×售出件数是解答此题的关键．　25．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD=8，EB=4，求⊙O的直径．【考点】切线的判定；矩形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）连结OE，如图，利用角平分线定义得到∠1=∠2，加上∠1=∠3，则∠2=∠3，于是可判断OE∥AF，则可利用AF⊥FG得到OE⊥FG，然后根据切线的判定定理得到直线FG是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，则OA=OE=r，由矩形的性质得∠ABC=90°，AB=CD=8，然后在Rt△OBE中利用勾股定理得到（8﹣r）2+42=r2，解得r=5，于是得到⊙O的直径为10．【解答】（1）证明：连结OE，如图，∵AE平分∠FAH，∴∠1=∠2，∵OA=OE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OE∥AF，∵AF⊥FG，∴OE⊥FG，∴直线FG是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OA=OE=r，∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC=90°，AB=CD=8，在Rt△OBE中，OB=8﹣r，BE=4，OE=r，∴（8﹣r）2+42=r2，解得r=5，∴⊙O的直径为10．【点评】本题考查了切线的判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．　26．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y=﹣x2+3x﹣2函数可知a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y1=x2﹣x+n与y2=﹣x2+mx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2016的值；（3）已知函数y=（x﹣1）（x+4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=（x﹣1）（x+4）互为“旋转函数”．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】阅读型；新定义．【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2，从而得到原函数的“旋转函数”； （2）根据“旋转函数”的定义得到﹣=m，﹣3+n=0，再解方程组求出m和n的值，然后根据乘方的意义计算；（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A（1，0），B（﹣4，0），C（0，﹣2），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1（﹣1，0），B1（4，0），C1（0，2），则可利用交点式求出经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，再把y=（x﹣1）（x+4）化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断．【解答】（1）解：∵a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，∴﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，∴a2=1，b2=3，c2=2，∴函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y=x2+3x+2；（2）解：根据题意得﹣=m，﹣3+n=0，解得m=﹣4，n=3，∴（m+n）2016=（﹣4+3）2016=1；（3）证明：当x=0时，y=（x﹣1）（x+4）=﹣2，则C（0，﹣2），当y=0时，（x﹣1）（x+4）=0，解得x1=1，x2=﹣4，则A（1，0），B（﹣4，0），∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（4，0），C1（0，2），设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2（x+1）（x﹣4），把C1（0，2）代入得a2•1•（﹣4）=2，解得a2=﹣，∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，而y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，∴a1+a2=+（﹣）=0，b1=b2=，c1+c2=﹣2+2=0，∴经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=（x﹣1）（x+4）互为“旋转函数”．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．　 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a（x+1）（x﹣3）（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为M，经过点A的直线l：y=ax+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D．（1）直接写出点A的坐标　（﹣1，0）　、点B的坐标　（3，0）　；（2）如图（1），若顶点M的坐标为（1，4），连接BM、AM、BD，请求出二次函数及一次函数的解析式，并求出四边形ADBM的面积；（3）如图（2），连接DM，当a为何值时，直线DM与x轴的夹角为45°？（4）如图（3），点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为时，请直接写出此时E点的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）令y=0解方程即可．（2）用待定系数法即可求出两个函数的解析式，再根据A、D、B、M的坐标求出四边形ADBM的面积．（3）通过解方程组求出点D坐标，根据直线DM与x轴的夹角为45°列出方程即可求解．（4）过点E作EF∥y轴，交直线AD于点F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），写出△ACE面积的表达式，根据二次函数的最大值列出方程即可解决．【解答】解：（1）令y=0，a（x+1）（x﹣3）=0，解得x=﹣1或3，所以A（﹣1，0），B（3，0）．故答案为A（﹣1，0），B（3，0）．（2）∵二次函数y=a（x+1）（x﹣3）顶点为（1，4），∴4=﹣4a，∴a=﹣1，∴抛物线为y=﹣x2+2x+3 ∵一次函数y=ax+b经过A（﹣1，0）∴0=﹣a+b，∴b=a，∴一次函数为：y=﹣x﹣1，由解得，∴点D（4，﹣5），∴S四边形ADBM=S△ABM+S△ABD=×4×4+×4×5=18．（3）由解得到，∴点D（4，5a），∵顶点M（1，﹣4a），∵直线DM与x轴的夹角为45°，∴﹣4a﹣5a=4﹣1，∴a=﹣．（4）过点E作EF∥y轴，交直线AD于点F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax+a）=ax2﹣3ax﹣4a，∵S△ACE=S△AFE﹣S△CFE=（ax2﹣3ax﹣4a）•（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）•x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣，∴当x=时，△ACE面积最大值=﹣=，∴a=﹣2，∴此时点E（，）． 【点评】本题考查二次函数、一次函数的有关性质、三角形面积、四边形面积等知识，灵活运用函数与方程的关系是解决问题的关键，本题比较难，需要有一定的代数化简技巧．