(上海版)2022年中考数学模拟练习卷02（含答案）

中考数学模拟练习卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（）A.y=ax2+bx+cB.y=x（x﹣1）C.D.y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论.【解答】解：A、当a=0时，y=bx+c不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1为一次函数.故选：B.【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A.AB=2sinAB.AB=2cosAC.BC=2tanAD.BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案.【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项A，B错误； tanA==，则BC=2tanA，故选项C正确；则选项D错误.故选：C.【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键.1.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（）A．B.C.D.【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可.【解答】解：A.当时，能判断ED∥BC；B.当时，能判断ED∥BC；C.当时，不能判断ED∥BC；D.当时，能判断ED∥BC；故选：C.【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的 第三边.1.已知，下列说法中，不正确的是（）A.B.与方向相同C.D.【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用.【解答】解：A、错误.应该是﹣5=；B、正确.因为，所以与的方向相同；C、正确.因为，所以∥；D、正确.因为，所以||=5||；故选：A.【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量.零向量和任何向量平行.2.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A.B.C.D.【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可.【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∴AE∥CD， ∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D.【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键.1.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦.OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP.下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题.【解答】解：如图连接OB、OD； ∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D.【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.如果=，那么=.【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可.【解答】解：∵=，∴=，设a=2t，b=3t，∴==.故答案为.【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质.8.已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米.【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负.【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积.所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6.【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型.9.化简：=﹣4+7.【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可 【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则.10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案.【解答】解：∵在y=3x2+2x中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分y随x的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降.【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键.11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）.【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标.【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0. 10.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1.【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式.【解答】解：抛物线y=2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y=2（x+3）2+1.故答案为：y=2（x+3）2+1.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.11.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是.【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解.【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα=.故答案为：.【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握.12.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC=，. 【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可.【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解.10.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20米，背水坡AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底BC的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与 EF相加即可求得BC的长.【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE是矩形.由题意得，EF=AD=6米，AE=DF=20米，∠B=30°，斜坡CD的坡度为1：2，在Rt△ABE中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米.在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）.所以坝底BC的长度等于（46+20）米.故答案为（46+20）.【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义.10.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内.设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是.【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论.【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=， ∴AB==4.∵CD⊥AB，∴CD=.∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x.解得x=∴点A在圆外，点B在圆内，r的范围是，故答案为：.【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键.10.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4.【分析】连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答.【解答】解：如图，连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，∵点E、F分别是△ABD和△ACD的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12， ∴GH=DG+DH=（BD+CD）=BC=×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4.【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍.10.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE=.【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=.【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：.【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（10分）计算：45°.【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案.【解答】解：原式=﹣×=﹣ =.【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.20.（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标.【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把C（m，2m+3）代入解析式得到关于m的方程，解关于m的方程可确定C点坐标.【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.21.（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点 A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径.【分析】如图，连接OA.交BC于H.首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA.交BC于H.∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为. 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.22.（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON.（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b.（3）、在ON上截取OC=c.（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D.所以：线段CD就是所求的线段x.①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量.【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得=，即BD=AC，从而知==﹣=﹣ .【解答】解：①根据作图知，线段CD就是所求的线段x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴==﹣=﹣.【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算.23.（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE. 【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE.（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可.【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA， ∴=，∴AB•BC=BD•BE.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解.24.（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标.【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可； （2）记抛物线与x轴的另一个交点为D.先求得D（1，0），然后再证明∠DBO=∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时.过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF.先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P的坐标.【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1.∵a＜0，∴抛物线开口向下.又∵抛物线与x轴有交点，∴C在x轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）.设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3.（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）.∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°.∴tan∠CAB==. （2）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D.∵点D与点A关于x=﹣1对称，∴D（1，0）.∴tan∠DBO=.又∵由（2）可知：tan∠CAB=.∴∠DBO=∠CAB.又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO.∴∠CAO=∠ABD.∴当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）.如图2所示：当点P在AB的上时.过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF.∵BF∥AO， ∴∠BAO=∠FBA.又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠CAB.又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB.∴tan∠EPB=.设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）.将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=.∴P（﹣，）.综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）.【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含t的式子表示点P的坐标是解题的关键.25.（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P.（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA； （1）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（2）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长.【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP=x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长.【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设BM=t，则AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2， ∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB在变化，∠BPM在变化，∴PF在变化，所以∠BDG和∠GAC是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y=（1≤x＜2） （2）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或.【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质.