人教A版高中数学必修2同步检测：第一章1.3-1.3.2球的体积和表面积

第一章空间几何体1.3空间几体的表面积与体积1.3.2球的体积和表面积A级　基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的(　　)A．3倍　　　　　　　B．3倍C．9倍D．9倍解析：由V′＝27V，得R′＝3R，＝3则球的表面积比S′∶S＝＝9.答案：C2．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)A．R　　　　B．2R　　　　C．3R　　　　D．4R解析：设圆柱的高为h，则πR2h＝3×πR3，所以h＝4R.答案：D3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　) A．9π＋42B．36π＋18C.π＋12D.π＋18解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝π＋3×3×2＝π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：设该球的半径为R，所以(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2.所以球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.答案：B5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是(　　) A．4π＋24B．4π＋32C．22πD．12π解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.答案：B二、填空题6．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4cm，则钢球的体积为V＝π×32×4＝36π，即有πR3＝36π，所以R＝3.答案：3cm7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R、r(R＞r)，则：即，所以R－r＝2.答案：28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ________．解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，故其体积V＝×π×13＋2×2×4＝16＋.答案：16＋三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.因为圆柱的体积V圆柱＝πr2l＝π×12×3＝3π，又两个半球的体积2V半球＝πr3＝π，因此组合体的体积V＝3π＋π＝π.10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢球的半径． 解：设球的半径为R，由题意可得πR3＝π×32×0.5，解得：R＝1.5(cm)，所以所求球的半径为1.5cm.B级　能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　　)A.　　　B.　　　C．8π　　　D.解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R，则R2＝12＋12＝2，所以R＝，V＝πR3＝.答案：B2．边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上，则四棱锥OABCD的体积是________．解析：因为正方形ABCD外接圆的半径r＝＝4.又因为球的半径为5，所以球心O到平面ABCD的距离d＝＝3，所以VOABCD＝×(4)3×3＝32.答案：323． 体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S1，S2，S3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，所以R＝a，r＝a，所以S2＝4π＝4π·a2＝a2，S3＝6π＝6π·a2＝a2，所以S2＜S3.又6a2＞3＝，即S1＞S3.所以S1，S2，S3的大小关系是S2＜S3＜S1.