球的表面积与体积上课讲义
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球的表面积与体积上课讲义

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时间:2022-08-13

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资料简介
球的表面积与体积 假设将圆n等分,则n=6n=12A1A2OA2A1AnOpA3回顾:圆面积公式的推导 延伸阅读:割圆术早在公元三世纪,我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数,使其面积与圆的面积之差更小,即所谓“割之弥细,所失弥小”。这样重复下去,就达到了“割之又割,以至于不可再割,则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的“极限”思想。思考:能否也采取“分割”与“极限”思想,推导球的体积公式? 把半球分割成n个薄片当分割的层数不断增加,每一层就越接近一个圆柱体。 OR当n→∞时,每个薄片近似于圆柱设球的半径为R,它的体积只与半径R有关。将半球分割成n层,每一层都近似于圆柱形状的“小圆片”。这些“小圆片”的体积之和就是球的体积。选第i层(由下而上),如右图。厚度:下底面半径:体积: 球的体积公式 用“祖暅原理”得到球体积公式R高等于底面半径的旋转体体积对比 球的表面积公式推导球面不能展开成平面图形,所以求球的表面积无法用展开图求出,如何求球的表面积公式呢?从球的体积公式的推导方法,得到启发,可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。 则球的体积为:OO球的表面积公式推导 基本计算问题1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.O2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍,则体积扩大为原来的________倍.(2)把球队表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大为原来的_______倍.(3)三个球的表面积之比为1:2:3,则它们的体积之比为_________.(4)三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为________. 用一个平面α去截一个球O,截面是圆面Oß球的截面的性质:球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为d,球的半径为R,则截面问题 截面问题1.一球的球面面积为256πcm2,过此球的一条半径的中点,作垂直于这条半径的截面,求截面圆的面积.变式:在球内有相距9cm的两个平行截面,截面面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积.两种情况2.过球面上三点A、B、C的截面和球心O的距离等于球的半径的一半,且AB=BC=CA=3,求球的体积.变式:在半径为13cm的球面上有A、B、C三点,AB=6cm,BC=8cm,CA=10cm,求经过A、B、C三点的截面与球心O之间的距离.要点:准确画图,利用基本三角形 “接”与“切”:两个几何体相(内)切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上解决“接切”问题的关键是画出正确的截面,把空间“接切”转化为平面“接切”问题 球与正方体的“接切”问题典型:有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.画出正确的截面:(1)中截面;(2)对角面找准数量关系 球与正方体的“接切”问题 四面体与球的“接切”问题典型:正四面体ABCD的棱长为a,求其内切球半径r与外接球半径R.思考:若正四面体变成正三棱锥,方法是否有变化?1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法 四面体与球的“接切”问题此页不讲,留给以后专题课 球与旋转体的“接切”问题1.半圆O的直径为直角梯形垂直于底的腰,且切AB、BC、CD于A、E、D点,将其绕AD所在直线旋转一周,得到一个球与一个圆台,若球的表面积与圆台侧面积的比为3:4,求球的体积与圆台体积之比.2.一个倒立的圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是多少?轴截面 球堆问题1.把半径为R的四个球垒成两层放在桌面,下层放三个,上层放一个,两两相切,求上层小球最高点离桌面的距离.2.四个半径为R的大球上层一个,下层三个两两相切叠放在一起,在它们围成的空隙内有一个小球与这四个大球都外切,另有一个更大的球与这四个大球都内切,求小球的半径r和更大球的半径R’.化归为以各球球心为顶点的多面体问题此页2不讲,留给以后专题课 平行于底面的截面与底面相似,且SS1当平行于底面的截面过棱锥高的中点时,这个截面常被称为中截面,思考:锥体截面性质 锥体截面问题1.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1:3,这截面把圆锥母线分成为两段的比是多少?变式:棱锥的底面面积为150cm2,平行于底面的截面面积为54cm2,若底面和截面的距离为14cm,求这个棱锥的高 此课件下载可自行编辑修改,仅供参考! 感谢您的支持,我们努力做得更好!谢谢

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