第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征
一二三四五一、圆柱的结构特征1.如图,矩形ABCD绕其边AB所在直线旋转一周,其余三边BC,CD,DA旋转各形成什么图形?共同围成什么空间几何体?提示:边BC,DA旋转一周各形成一个圆面,边CD旋转一周形成一个曲面,它们共同围成一个圆柱.
一二三四五2.如图,在圆柱中任取不重合的两条母线,如AB,CD,它们有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AC,AC还是母线吗?提示:AB∥CD,截面ABCD是矩形.AC不是母线.
一二三四五3.关于圆柱的结构特征,请完成下表:
一二三四五二、圆锥的结构特征1.如图,Rt△ABC绕其一直角边AC所在的直线旋转一周,其余两边BC,AB旋转各形成什么图形?它们共同围成什么空间几何体?提示:边BC旋转一周形成一个圆面,边AB旋转一周形成一个曲面,它们共同围成一个圆锥.
一二三四五2.如图,在圆锥中任取不重合的两条母线,如AB,AD,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形?提示:AB与AD相交于点A,截面ABD是过顶点A的等腰三角形.
一二三四五3.关于圆锥的结构特征,请完成下表:
一二三四五三、圆台的结构特征1.如图,用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是什么几何体?提示:圆台.
一二三四五2.如图,直角梯形ABCD绕其垂直于底边的腰BC所在的直线旋转一周,腰AD与底边AB,CD旋转形成什么图形?它们共同围成什么几何体?提示:腰AD旋转一周形成一个曲面,底边AB,CD各旋转一周形成一个圆面,它们共同围成一个圆台.
一二三四五3.如图,在圆台中任取两条不重合的母线,如AD,EF,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AF,AF还是母线吗?提示:AD与EF反向延长后交于一点.过AD,EF的截面是等腰梯形.AF不是母线.
一二三四五4.关于圆台的结构特征,请完成下表:
一二三四五5.圆柱、圆锥、圆台的形状虽然不同,但是它们之间既有区别又有联系,并且在一定条件下可以相互转化,如图,你能根据所给图形描述一下它们之间是怎样相互转化的吗?提示:当圆台的下底面保持不变,而上底面越来越大时,圆台就越来越接近于圆柱,当上底面增大到与下底面相同时,圆台就转化为圆柱;当圆台的上底面越来越小时,圆台就越来越接近于圆锥,当上底面收缩为一个点时,圆台就转化为圆锥了.
一二三四五6.做一做:判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱.()(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台.()(3)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.()答案:(1)×(2)×(3)×
一二三四五四、球的结构特征1.如图,把半圆绕其直径所在的直线旋转一周,半圆弧旋转形成什么图形?如果是把整个的圆绕其一条直径所在的直线旋转半周,圆弧旋转形成什么图形?它们各自围成什么空间几何体?提示:半圆弧旋一周转形成一个球面,圆弧旋转形成的也是一个球面,它们围成的空间几何体都是球.
一二三四五2.在球面上任取两点A,B,线段AB一定是球的直径吗?什么时候是直径?提示:不一定.当线段AB过球心时是直径.3.关于球的结构特征,请完成下表:
一二三四五4.做一做:如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请把第一、第二排中相应的图形用线连起来.答案:(1)—C(2)—B(3)—D(4)—A
一二三四五五、简单组合体1.下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗?它们是如何构成的?提示:这两个空间几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体,而是由柱、锥、台、球体中的三种或两种组合而成的几何体.
一二三四五2.填空:(1)简单组合体的概念:由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.(2)简单组合体的基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.3.做一做:将图甲所示的三角形绕直线l旋转一周,可以得到图乙所示的几何体的是.(填序号)图甲图乙答案:②
探究一探究二探究三思想方法旋转体的结构特征例1下列命题正确的是.(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥;⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球;⑥用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.
探究一探究二探究三思想方法解析:①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台;③它们的底面为圆面;④⑤⑥正确.答案:④⑤⑥反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成.②明确旋转轴是哪条直线.(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
探究一探究二探究三思想方法变式训练1给出下列说法:①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体.其中说法正确的是.(填序号)解析:①正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②不正确,圆台的母线延长后必相交于一点;③不正确,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.答案:①
探究一探究二探究三思想方法组合体的结构特征例2描述下列几何体的结构特征.思路分析:根据简单组合体的两种基本构成形式进行分析.解:图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
探究一探究二探究三思想方法反思感悟简单组合体构成的判断技巧(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征;(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式;(3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).
探究一探究二探究三思想方法变式训练2如图(1)(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?
探究一探究二探究三思想方法解:旋转后的图形如图所示.其中(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;(2)是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
探究一探究二探究三思想方法旋转体中的计算例3如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O'O的母线长.
探究一探究二探究三思想方法思路分析:过圆锥的轴作截面,利用三角形相似来解决.解:设圆台的母线长为lcm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为rcm,4rcm.过轴SO作截面,如图.
探究一探究二探究三思想方法反思感悟旋转体中的计算问题解题策略用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组而得解.这种立体问题平面化的思想是解答旋转体中计算问题的关键.
探究一探究二探究三思想方法延伸探究本例中若圆台的上底面半径为1cm,其他条件不变,试求圆台的高.解:∵圆台的上底面半径为1cm,∴下底面半径为4cm.
探究一探究二探究三思想方法转化与化归思想在空间几何体中的应用典例如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?【审题视角】将圆柱的侧面沿母线剪开→侧面展开图→最短距离→计算求值
探究一探究二探究三思想方法解:把圆柱的侧面沿AB剪开,然后展开成为矩形,如图,连接AB',则AB'即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AB=A'B'=2,AA'为底面圆的周长,且AA'=2π×1=2π,方法点睛求旋转体侧面上两点间的最短距离,一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解.
12341.下面几何体的截面一定是圆面的是()A.圆台B.球C.圆柱D.棱柱答案:B
12342.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体解析:圆面绕着直径所在的轴旋转而形成球,矩形绕着轴旋转而形成圆柱.答案:B
12343.如图,蒙古包可以看作是由和构成的几何体.解析:上半部分为圆锥,下半部分为圆柱.答案:圆锥圆柱
12344.若一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为cm.解析:如图是圆锥的轴截面,则SA=20cm,∠ASO=30°,
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