1.1.1 柱锥台球的结构特征

1．1.1柱、锥、台、球的结构特征 1．空间几何体(1)空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑这些物体的，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的就叫做空间几何体．形状和大小空间图形 (2)空间几何体的分类多面体：由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个叫做多面体的面；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点．平面多边形多边形公共边公共点 旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条旋转所形成的叫做旋转体，这条叫做旋转体的轴．2．多面体定直线封闭几何体定直线 多面体结构特征图形表示法棱柱有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱中，的面叫做棱柱的底面，简称底；叫做棱柱的侧面；相邻的侧面的叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的叫做棱柱的顶点.如上、下底面分别是四边形A′B′C′D′、四边形ABCD的四棱柱，可记为棱柱平行四边形平行两个互相平行其余各面公共边公共顶点ABCD—A′B′C′D′. 多面体结构特征图形表示法棱锥有一个面是，其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个叫做棱锥的侧面；各侧面的叫做棱锥的顶点；相邻侧面的叫做棱锥的侧棱.如图所示，该棱锥可表示为棱锥多边形三角形多边形三角形面公共边S—ABCD.公共顶点 多面体结构特征图形表示法棱台用一个的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台．原棱锥的和分别叫做棱台的下底面和上底面.如上、下底面分别是四边形A′B′C′D′、四边形ABCD的四棱台，可记为棱台平行于棱锥底面底面截面ABCD—A′B′C′D′. 探究1：多面体与旋转体的主要区别是什么？提示：多面体是由多个平面多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体． 探究2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？提示：不一定是棱柱． 探究3：棱锥最少有几个面和几条棱？提示：面数最少的棱锥是三棱锥，它具有四个面，六条棱．探究4：棱台的各个侧面是什么图形？提示：梯形且两侧棱为梯形的两腰. 典例如图所示，下列几何体中，哪些是棱柱？ 【解析】根据棱柱的结构特征：①有两个面互相平等，②各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形，知①③正确．易错补练棱柱的侧棱最少有________条，棱柱的侧棱长之间的大小关系是________．答案：三 相等 1．棱柱是多面体中最简单的一种，对棱柱的概念应正确理解，准确把握，它有两个本质特征：(1)有两个面(底面)互相平行；(2)其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱． 2．棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形．二者缺一不可．因此棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形．但是要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥，如图，此多面体有一面是四边形，其余各面都是三角形，但它不是棱锥．3.一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体． 1．下列说法正确的是()A．三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三个顶点B．四面体有四个面、六条棱和四个顶点C．六棱锥有七个顶点D．棱柱的各条侧棱可以不相等 解析：对于A，三棱柱有六个顶点；对于C，各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点，只有1个；对于D，棱柱的各侧棱相等．答案：B2．五棱锥是由多少个面围成的()A．5个B．7个C．6个D．11个解析：五棱锥由五个侧面和一个底面，即六个面围成．答案：C 3．棱台不具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都平行D．侧棱延长后都交于一点解析：棱台是由棱锥截得的，所以侧棱延长后相交于一点，故C错误．答案：C 4．一个棱柱至少有________个面，面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．解析：面数最少的棱柱为三棱柱．答案：5695．判断下列说法是否正确：(1)棱锥的各侧面都是三角形；(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；(3)四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；(4)棱锥的各侧棱长相等 解：由棱锥的定义可知，棱锥的各侧面都是三角形，有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，则这个几何体就不是棱锥．四面体就是由四个面所围的几何体，因此，四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，但各侧棱必须有一个公共端点．故(1)(3)正确，(2)(4)不正确． 例1下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 【分析】由题目可获取以下主要信息：题目考查的是棱柱的有关概念，解答本题要紧扣定义．【解析】A、B都错，反例如图(1)；C也错，反例如图(2)，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体．根据棱柱的定义知D对． 【答案】D 【规律方法】判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面是平行四边形；③这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．这三个条件缺一不可，如反例中的图(1)，①②两个条件都具备，唯独缺了③，它也不是棱柱。解答此类问题要思维严谨，紧扣几何体的定义 变式1如图，过BC的截面截去长方体的一角，所得的几何体是不是棱柱？解：选择平行平面ABB′A′与平面DCC′D′为两个底面，则它符合棱柱的结构特征，故它是四棱柱ABB′A′－DCC′D′. 判断如图所示的几何体是不是棱台？为什么？ 解：①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台. 旋转体结构特征图形表示法圆柱以所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的叫做圆柱，叫做圆柱的轴；的边旋转而成的叫做圆柱的底面；的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置的边都叫做圆柱侧面的母线.圆柱用表示，左图中圆柱表示为矩形的一边旋转体旋转轴垂直于轴的圆面平行于轴不垂直于轴表示它的轴的字母圆柱OO′.2．旋转体 旋转体结构特征图形表示法圆锥以直角三角形的所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做.圆锥用表示，左图中圆锥表示为.一条直角边圆锥表示它的轴的字母圆锥SO 旋转体结构特征图形表示法圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与之间的部分叫做与圆柱和圆锥一样，圆台也有、、、.圆台用表示，左图中圆台表示为截面圆台．轴底面侧面母线表示轴的字母圆台OO′. 旋转体结构特征图形表示法球以半圆的所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，叫做球的直径.球常用表示，左图中的球表示为.直径半圆的圆心半圆的直径表示球心的字母球O 2.简单组合体的结构特征(1)定义：由组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)简单组合体的两种基本形式：由简单几何体而成；由简单几何体一部分而成.简单几何体拼接截去或挖去 探究1：铅球和乒乓球都是球吗？提示：根据球的定义，铅球是一个球，而乒乓球不是球，这是因为铅球是实心球符合球的定义，而乒乓球是空心球不符合球的定义，“但乒乓球是一球面”． 探究2：一个直角三角形绕其斜边旋转一周会形成一个什么图形？提示：形成两个对底的圆锥，如图中的圆锥O1O和圆锥O2O. 典例将直角梯形ABCD以它的一条边AB所在直线为轴旋转一周，所形成的几何体为()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．以上都不对【解】只有将直角梯形ABCD绕它垂直于两底的腰所在直线旋转时，形成的几何体才是圆台，由于直角梯形ABCD未指出哪两边平行，哪条腰与底垂直，故以AB边所在直线为轴旋转，形成的几何体形状不确定．答案为D. 易错补练 以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边绕轴旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 解析：如图，钝角△ABC绕AB边所在直线为轴旋转一周，Rt△BDC旋转形成一大圆锥，Rt△ACD旋转形成一个小圆锥，故所得几何体为一个圆锥中挖去一个同底的小圆锥．答案：D 1．圆柱、圆锥、圆台(1)相同点：它们的侧面均为曲面，底面为圆面．(2)不同点：圆柱有两个全等且平行的圆，母线垂直于底面；圆锥只有一个底面，母线共于一点；圆台有两个不全等且平行的圆面，母线的延长线交于一点． 2．柱、锥、台体的关系 3．几何体表面上的最短路程：解决此类问题通常是将空间几何体的表面展开，利用平面上两点间线段最短的结论．例如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 【解】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离． 【规律方法】解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图： 变式2若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？ 1．给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：①、②、④正确．答案：C 2．下列命题中正确的是()A．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的B．圆锥所有的轴截面(过轴所作的截面)是全等的等腰三角形C．圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是所有过顶点的截面中面积最大的一个D．圆锥顶点与底面上任意一点的连线是圆锥的母线 解析：对于A，圆锥是直角三角形绕其直角边旋转而成的；对于C，轴截面不一定是所有过顶点的截面中面积最大的；对于D，圆锥顶点与底面圆周上任一点的连线是母线．答案：B 3．下列判断中正确的个数是()①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆．A．1B．2C．3D．4 解析：半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体，叫球，①不正确；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆，若两点恰好为最大的圆的直径，则过此两点的大圆有无数个，故④错误．答案：A 4．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：该几何体是一个圆锥与一个圆台的组合体，圆锥是由一个直角三角形旋转而成的，圆台是由一个直角梯形旋转而成的，将两个图形合到一起应为图A.答案：A 5．指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成的．(1)是由________和________组成的几何体．(2)是由________和________组成的几何体． 解：分割原图，使它们的每一部分都是简单几何体．(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体．(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体．