3.2.2函数模型的应用实例课后导练基础达标1.一根弹簧挂重100N的重物时,伸长20cm,当挂重150N的重物时,弹簧伸长…()A.3cmB.15cmC.25cmD.30cm解析：∵=,∴x=30.答案：D2.某人2005年1月1日到银行存入一年期存款a元,若年利率为x,按复利计算,到2008年1月1日,可取回款____________________元()A.a(1+x)3B.a(1+x)4C.a+(1+x)3D.a(1+x3)解析：2006年1月1日本利和为a(1+x);2007年1月1日本利和为a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2;2008年1月1日本利和为a(1+x)3.∴选A.答案：A3.某物体一天中的温度T℃是时间t(小时)的函数T=t3-3t+60,t=0表示12:00的温度,其后t取正值,则上午8:00的温度是()A.112℃B.58℃C.18℃D.8℃解析：由条件得上午8:00，t=-4,此时T=（-4）3-3×（-4）+60=8℃.∴选D.答案：D4.某产品的总成本y(万元)与产量x之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2,x∈(0,240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时的最低产量为()A.100台B.120台C.150台D.180台解析：设最低生产x台,则3000+20x-0.1x2＜25x.解得x＜=-200（舍去），或x＞=150.答案：C5.某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有()A.5种B.6种C.7种D.8种解析：设分别用x元和y元购买单件软件和盒装磁盘.则当y=2时，x=6或x=5或x=4或x=3;当y=3时，x=4或x=3;5
当y=4时，x=3.答案：C6.如右图,直角梯形OABC中,AB∥OC,OC⊥BC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=t,截此梯形所得位于l左侧图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象为()解析：取特殊点检验：当x=1时，S=1，∴可排除A、B.当x=2时，S=1+1×2=3，此时只有D满足.答案：D7.如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面积为S,且V=S+1,那么这个立方体的一个面的边长(精确到0.01)为()A.5.01B.5.08C.6.03D.6.05解析：设立方体边长为1，则a3=6a2+1.令f(a)=a3-6a2-1,f(6)=-1＜0，f(7)=72-1＞0,∴f(a)在（6，7）内必有一零点，用二分法求得精确到0.01的近似值为6.03.答案：C8.某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价20%，同时乙产品连续两次降价20%，结果都以23.04元售出.此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏情况是（）A.不亏不赚B.亏5.92元C.赚5.92元D.赚28.96元解析：设甲、乙两种产品原价分别为a、b，则a(1+20%)2=23.04,b(1-20%)2=23.04.∴a=16元，b=36元.若出售甲、乙产品各一件，甲产品盈利23.04-16=7.04元，乙产品亏36-23.04=12.96元，∴共亏12.96-7.04=5.92元.答案：B5
9.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时能卖出400个，根据经验，该商品若每个涨（降）1元，其销售量就减少（增加）20个，为获得最大利润，售价应定为（）A.92元B.94元C.95元D.88元解析：按所卖商品个数×现价-所卖商品个数×进货单价逐项检验知选C.答案：C10.某种微生物经30分钟繁殖为原来的2倍，且知该微生物的繁殖规律为y=ekt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示微生物个数，则k=________________；经过5小时，1个此微生物就能繁殖为__________________个（）A.ln2,1023B.2ln2,1023C.ln2,1024D.2ln2,1024解析：由条件得：2=.两边取以e为底的对数得：ln2=k·,∴k=2ln2.∴y=.经5小时，y===210=1024.∴选D.答案：D综合运用11.某单位计划使某种产品的成本比上一年降低2%,则成本降低到原来的80%时,需经过_____年.(用对数表示)解析：设经x年后降低到原来的80%，则（1-2%）x=80%，解得：x=log0.980.8.答案：log0.980.812.某不法商人将彩电按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,那么每台彩电原价是_______________元.解析：设彩电原价为x元，则(x+40%x)×80%-x=270.解得x=2250（元）.答案：225013.某化工厂生产某产品当年产量在150—250吨之内时,其年生产总成本y(万元)与年产量x(吨)之间关系可近似地表示为y=-30x+4000,则年产量为_________吨时,每吨的平均成本最低.解析：每吨的平均成本为：y=+-30=(x+)-30=(-)2+2×-30≥10.当且仅当=，即x=200吨.答案：2005
14.人口的增长是当前世界上各国普遍关注的问题.我们经常在报刊上看到关于人口增长的预报,说到本世纪中叶,全世界(或某地区)人口将达到多少亿.你可能注意到不同的报刊对同一时间的人口预报在数字上有较大的区别.你知道他们是如何预测的吗?为什么会有较大的区别呢?早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出自然状态下的人口增长模型y=y0·ert,其中t表示时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.下面两个表格是我国两段时期的人口资料,试分别求出这两段时期的人口模型,并进行比较,解释为什么会不同,并预测2010年时我国人口总数.甲1950—1959年份19501951195219531954人数(万)5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数(万)6145662828645636599467207乙1991—1998年份1991199219931994人数(万)114333115823117171118517年份1995199619971998人数(万)119850121121122389123626解析:设1950—1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.由55196(1+r1)=56300,得r1≈0.0200.同理r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250,r5≈0.0197,r6≈0.0223,r7≈0.0276,r8≈0.0222,r9≈0.0184.于是，1950—1959年人口增长率为r=(r1+r2+…+r9)/9≈0.0221.∴1950—1959年的人口增长模型y1=55196e0.0221t(t∈N).设1991—1998年人口增长率分别为s1,s2,…,s7,由114333(1+s1)=115823得s1≈0.0130.同理s2≈0.0116,s3≈0.0115,s4≈0.0112,s5≈0.0106,s6≈0.0105,s7≈0.0101.∴1991—1998年的人口年平均增长率为r=(s1+s2+…+s7)/7≈0.0112.∴1991—1998年的人口增长模型y2=114333e0.0112t,(t∈N).后者的人口平均增长率明显小于前者,这正说明了我国的计划生育政策所起的作用.若以模型一预测我国2010年人口数为y1=55196·e0.0221×60≈207865.16(万人),以模型二预测为y2=114333·e0.0112×19≈141445.59(万人),很明显应以1991—1998年的模型预测是合理的,到2010年我国人口预计可达14亿.15.(利润问题)某种商品生产x吨时,所需费用为(x2+5x+100)元,而出售x吨时,每吨售价为p元,这里p=a+(a、b是常数).(1)写出出售这种商品所获得的利润y元与售出这种商品的吨数x之间的函数关系式;(2)如果生产出来的这种商品都能卖完,那么当产品是150吨时,所获利润最大,并且这时每吨价格是40元,求a、b.解析：（1）y=(a+)x-(x2+5x+100)=(-)x2+(a-5)x-100;5
（2）由题意得解得拓展探究16.某电脑公司生产A种型号的家庭电脑，1995年平均每台电脑的生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价（1996年初生产成本与1995年相同）.1996年开始，公司更新设备，大力推行技术创新，并加强企业管理，从而生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅为1995年出厂价的60%，但却实现了纯利润50%的高收益.（1）求2000年每台电脑的生产成本；（2）求以1995年生产成本为基数，1995年2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.解析：（1）由题意可知，1995年每台电脑的出厂价为5000×（1+20%）=6000（元），故2000年每台电脑的出厂价为6000×60%=,3600（元）.设2000年每台电脑的生产成本为x元，则有x(1+50%)=3600，解得x=2400.故2000年每台电脑的生产成本为2400元.（2）设1995年至2000年生产成本平均每年降低的百分数为x，则5000（1-x）5=2400，即（1-x）5=,用计算器可解得x≈0.14=14%.故从1995年到2000年生产成本平均每年降低14%.17.在英国，1961年时，一所新房子以3500英磅的价格出售，而1981年，它却以34000英磅的价格再出售.20年来，这所房子没有什么变化，但价格却上涨了.假定这20年来，价格膨胀率不变，那么这所房子的价格膨胀率是多少（忽略房子的折旧因素）？另一方面，一加仑汽油，在1961的价格是33便士；而1983年，一加仑的价格却上涨到184便士.对房价与汽油价分别所反映的价格膨胀率进行比较，哪一个高？又若上面的价格膨胀率一直保持到2010年不变，那么在2010年，房价和汽油价格将分别是多少？解析：设初始价格为a，价格膨胀率为x%，第（n+1）年的价格为yn，则yn=a·（1+x%）n.对于房屋价格有34000=（1+x%）20×3500，解得x%≈12%.对于汽油价格，有184=（1+x%）22×33，解得x%≈8%.故房价的膨胀率高.若按上面的价格膨胀率计算，到2010年：房价为34000×（1+12%）29≈909498（英磅）；汽油价为184×（1+8%）27≈1470（便士）.5
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