3.2.2_函数模型的应用举例(1).

3.2.2函数模型的应用举例平邑实验中学 [例1]某市原来民用电价为0.52元/千瓦时.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元千瓦时，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/千瓦时设一家庭每月平均用电量为200千瓦时.(1)求电费关于峰时段用电量的函数关系式；(2)要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少千瓦时?[思路点拨]用x表示峰时段用电量，则(200－x)表示谷时用电量，可列出电费y关于x的函数．一次函数型 [精解详析](1)设峰时段用电量为x千瓦时，电费为y元，谷时段用电量为(200－x)千瓦时，则y＝x×0.55＋(200－x)×0.35，∴y＝0.2x＋70，x∈[0,200]．(2)原来电费y1＝0.52×200＝104(元)．由题意知y≤(1－10%)y1，即0.55x＋70－0.35x≤93.6，则0.2x≤23.6.∴x≤118，即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118千瓦时. [一点通]求解一次函数模型应用题的策略：(1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．(2)对于给出图象（是一次函数图像）的应用题，可以先利用函数的图象用待定系数法求出解析式，再反过来，用函数解析式来解决问题，最后翻译成具体问题作出解答． 1.如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需要付电话费__________元；(2)通话5分钟，需要付电话费________元；(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为____________． 答案：(1)3.6(2)6(3)y＝1.2t(t≥3) [例2]某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元.市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？二次函数型 [思路点拨]解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价;先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价． [精解详析](1)因为y＝29－25－x，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．(2)z＝(8＋×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)．故当x＝1.5时，zmax＝50.所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元． 2．用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙.要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3mB．4mC．5mD．6m答案：A [例3](12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出1件服装的利润＝实际出厂单价－成本)．分段函数型 [思路点拨](1)由题意按01)，函数值增大的速度越来越慢．注意：(1)增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型．(2)平均增长(或减少)率问题的表示：y＝a(1＋p%)x(或y＝a(1－p%)x)． 题组训练 [例5]某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)[思路点拨]先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型． [精解详析]设投资额为x万元时，获得的利润为y万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系． 设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a>0)；一次函数的解析式为y＝bx.把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示． 把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示．令下月投入A、B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，其中xA＋xB＝12. 把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示．令下月投入A、B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，其中xA＋xB＝12. [一点通]此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：(1)作图：根据已知数据作出散点图；(2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；(3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；(4)利用所求得的函数模型解决问题． 5．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：x…30404550…y…6030150…(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)； (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？解：(1)根据上表作图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)它们近似在同一条直线上，设直线 (2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300，∴当x＝40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润． (1)解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式.求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．(2)数学建模的过程图示如下：