幂函数的定义

高中数学幂函数的定义编稿老师李斌一校张小雯二校黄楠审核孙溢【考点精讲】1.幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。注意：幂函数与指数函数的区别。2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点；任何幂函数都不过象限；（2）当时，幂函数在上；当时，幂函数在上；（3）当时，幂函数是；当时，幂函数是。【典例精析】例题1已知f（x）＝，m为何值时，f（x）是：（1）正比例函数？（2）反比例函数？（3）二次函数？（4）幂函数？（5）在（4）的条件下，满足在（0，＋∞）上单调递增？思路导航：本题考查函数的定义，需要注意幂函数的系数必须为1。答案：（1）若f（x）为正比例函数，则⇒m＝1。（2）若f（x）为反比例函数，则⇒m＝－1。（3）若f（x）为二次函数，则⇒m＝。（4）若f（x）为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±。（5）若f（x）在（0，＋∞）上单调递增，，∴m＝－1－。例题2已知幂函数f（x）＝（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，求满足＜的a的取值范围。思路导航：解答此类问题可分为两步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围。答案：∵函数在（0，＋∞）上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3。∵m∈N*，∴m＝1，2。又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，第4页版权所有不得复制 ∴m＝1。而在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，∴等价于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a。解得a＜－1或＜a＜。故a的取值范围为{a|a＜－1或＜a＜}。点评：本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质。例题3已知m∈N*，函数f（x）＝（2m－m2）·在（0，＋∞）上是增函数，判断函数f（x）的奇偶性。思路导航：（1）幂函数y＝的特点：①系数必须为1；②指数必须为常数。（2）幂函数的单调性：①当α>0时，y＝在（0，＋∞）上为增函数；②当α