23、对数地运算与性质

实用文档高三第24课时对数的运算与性质【教学目标】1．掌握准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.2．在推导对数的运算性质的过程中，让学生体会化归的思想.3．运用对数运算性质解决有关问题．4．培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.【教学重点】对数运算的性质与对数知识的应用．【教学难点】正确使用对数的运算性质.【知识整理】1.基础知识图表2.对数的定义定义：若ab＝N(a>0,a≠1)，则数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.3.对数式、指数式与根式大全 实用文档指数式ab＝N，根式＝a和对数式logaN＝b(N>0,a>0,a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.请见下表.表达形式abN对应的运算ab＝N底数指数幂乘方，由a、b求N＝a方根根指数被开方数开方，由N、b求alogaN＝b底数对数真数对数，由N、a求b由此可见：(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算.(2)弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键.4.常用对数与自然对数对数logaN(a>0,a≠1),当底数(1)a＝10时，叫做常用对数，记作lgN；(2)a＝e时，叫做自然对数，记作lnN.在常用对数中，我们省去了底数不写.例如：lg10＝log1010＝1，lg100＝log10102＝2，log0.1＝log10(10)-1＝-1等等.5.对数恒等式：logaak＝k(a>0,a≠1)a＝N(a>0,a≠1)6.对数的运算性质：如果a>0，a≠0，M>0,N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM+logaN(2)loga＝logaM-logaN大全 实用文档(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)要注意公式的逆用及公式证明的思路(见教材)7.对数运算性质的理解与运用须注意的问题(1)对于一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立.(2)要把握住运算性质的本质特征，防止应用时出现错误.(3)要学会用语言准确地叙述运算性质.(4)利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可以简化计算方法，加快计算速度.特别注意的是换底公式的证明与运用.【例题解析】【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，解答题，易，运算【题目】计算下列各式（1）（2）（3）设函数，若，求的值。【解答】解：（1）原式=（2）原式=大全 实用文档（3）代入，即得=2010。【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，选择题，中，逻辑思维【题目】设a＞1,且,则的大小关系为（）(A)n＞m＞p(B)m＞p＞n(C)m＞n＞p(D)p＞m＞n【解答】答案：B．具体值代入【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，解答题，中，逻辑思维【题目】例2、已知x,y,z为正数，满足①求使2x=py的p的值，②求与①中所求的p的差最小的整数③求证：④比较3x、4y、6z的大小【解答】解：①设，由2x=py得②又故与p差最小的整数是3。③④大全 实用文档【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质的综合应用，解答题，中，逻辑思维【题目】我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y=10lg.这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0=10－12w/m2，当I=I0时，y=0，即dB=0.（1）如果I=1w/m2，求相应的分贝值；（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的多少倍？【解析】（1）∵I=1w/m2，∴y=10lg（2）由70=10lg，即，∴，又60=10lg，即lg=6，∴=106.∴=10，即I=10I′答：（1）I=1w/m2，相应的分贝值为；（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的10倍大全 实用文档【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质的综合应用，解答题，难，逻辑思维【题目】已知函数x,y满足x≥1,y≥1loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围【解答】解由已知等式得loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v在直角坐标系uOv内，圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，分两类讨论(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1+≤k≤2(1+);(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－)≤k≤1－综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+2，最小值为1+；当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－，最小值为2－2【课堂反馈】【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，易，运算大全 实用文档【题目】已知.则=_______【解答】[思路分析一]先将指数式化成对数式，然后将所求式化为以18为底的对数式，利用已知代入即可.[思路分析二]将所有已知、未知的式子都化为常用对数来计算.[思路分析三]将已知的对数式化成指数式，然后将所求式也化成指数式，逐步寻求转化关系.[解法一]，.[解法二]，.[解法三]，大全 实用文档令，即，.【解后反思】本题的解题方法是将指数式化成对数式，再把所求对数的底通过换底公式换成和它们相同的底的对数，以便利用已知条件及对数的性质来求值，也可将对数式改写成指数式，以便利用已知条件及指数运算法则来求解.【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，易，逻辑思维【题目】设，则=_________【解答】分析：本题只需求出的值，从条件式出发，设法变形为的方程.解：当时，原式可化为：，即，，∴或（舍），∴.思维点拔：本题在求时，不是分别求出的值，而是把看成一个字母，这种方法称为“整体”思想.【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，选择题，易，运算【题目】大全 实用文档已知，则（）(A)n＜m＜1(B)m＜n＜1(C)1＜m＜n(D)1＜n＜m【解答】答案：D【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，中，运算【题目】若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】答案：C【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，选择题，中，逻辑思维【题目】已知log83=p,log35=q,则lg5(用p,q表示)等于( )(A)(B)(C)(D)p2＋q2大全 实用文档【解答】答案：C【课堂小结】互逆运算a＞0,a≠1指数式对数式指数对数幂真数底数【课后作业】【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，易，运算【题目】若集合，，则______________．【解答】答案：【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，易，逻辑思维【题目】大全 实用文档设集合，，若，则实数的取值范围是_____________．【解答】答案：【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，易，逻辑思维【题目】设集合，，，则实数的值为_________．【解答】答案：【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，易，运算【题目】已知集合，则集合的子集个数为____________．【解答】答案：．解：，因为有个元素，所以有个子集．大全 实用文档【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，中，逻辑思维【题目】已知，函数的最大值为___【解答】[思路分析]先利用函数的单调性及定义域求的范围，然后将表示成二次函数的形式求最值.[解法]依题设有，所以，又，而【解后反思】本题的常见错误是忽视函数的定义域.【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，解答题，中，分析问题解决问题【题目】设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1+x)|的大小.【解答】解法一：作差法大全 实用文档|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝||－||＝(|lg(1－x)|－|lg(1+x)|)，∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1+x，∴上式＝－[（lg(1－x)+lg(1+x)]＝－·lg(1－x2)，由0＜x＜1，得lg(1－x2)＜0，∴－·lg(1－x2)＞0，∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|.解法二：作商法＝|log(1－x)(1+x)|，∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1+x，∴|log(1－x)(1+x)|＝－log(1－x)(1+x)＝log(1－x)，由0＜x＜1，∴1+x＞1，0＜1－x2＜1，∴0＜(1－x)(1+x)＜1，∴＞1－x＞0，∴0＜log(1－x)＜log(1－x)(1－x)＝1，∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.解法三：平方后比较大小∵loga2（1－x）－loga2(1＋x)＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga（1－x）－loga(1＋x)]＝loga(1－x2)·loga＝·lg(1－x2)·lg，大全 实用文档∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1，∴lg(1－x2)＜0，lg＜0，∴loga2(1－x)＞loga2(1+x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|.解法四：分类讨论去掉绝对值当a＞1时，|loga（1－x）|－|loga(1+x)|＝－loga(1－x)－loga(1+x)＝－loga(1－x2)，∵0＜1－x＜1＜1+x，∴0＜1－x2＜1，∴loga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0；当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga（1－x）＞0，loga(1+x)＜0，∴|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝|loga(1－x)+loga(1+x)|＝loga(1－x2)＞0，∴当a＞0且a≠1时，总有|loga（1－x）|＞|loga(1+x)|.【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，解答题，中，分析问题解决问题【题目】已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，比较f(x)与g(x)的大小.【解答】易知f(x)．g(x)的定义域均是：（0，1）∪（1，+∞），f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx(x).大全 实用文档①当x＞1时，若x＞1，则x＞，这时f(x)＞g(x)；若x＜1，则1＜x＜，这时f(x)＜g(x).②当0＜x＜1时，0＜x＜1，logxx＞0，这时f(x)＞g(x).故由（1）．（2）可知：当x∈(0，1)∪（，+∞）时，f(x)＞g(x)；当x∈（1，）时，f(x)＜g(x).【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，难，数学探究【题目】已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点(1)证明点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标【解答】命题意图本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力知识依托(1)证明三点共线的方法kOC=kOD(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标错解分析不易考虑运用方程思想去解决实际问题大全 实用文档技巧与方法本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标(1)证明设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2因为A、B在过点O的直线上，所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以OC的斜率k1=,OD的斜率k2=，由此可知k1=k2,即O、C、D在同一条直线上(2)解由BC平行于x轴知log2x1=log8x2即log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(，log8)【题目资源】【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，解答题，易，逻辑思维【题目】大全 实用文档用，，表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1）（2）（3）（4）【解答】分析：利用对数运算性质直接计算：（1）（2）=（3）（4）点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，易，运算【题目】设、，集合，则_________．【解答】答案：大全 实用文档【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，解答题，易，运算【题目】已知下列不等式，比较正数m．n的大小：（1）m＜n(2)m＞n(3)m＜n(0＜a＜1)(4)m＞n(a＞1)【解答】解：（1）考查函数y=x，∵3＞1，∴函数y=x在（0，+∞）是增函数，∵m＜n，∴m＜n；(2)考查函数y=x，∵0＜0.3＜1，∴函数y=x在（0，+∞）上是减函数，∵m＞n，∴m＜n(3)考查函数y=x，∵0＜a＜1，∴函数y=x在（0，+∞）上是减函数，∵m＜n，∴m＞n(4)考查函数y=x，∵a＞1，∴函数y=x在（0，+∞）上是增函数，∵m＞n，∴m＞n．大全 实用文档【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，易，运算【题目】下列式子中正确的个数是______个①loga(b2－c2)＝2logab－2logac②(loga3)2＝loga32③loga(bc)＝(logab)·(logac)④logax2＝2logax【解答】0个【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，易，运算【题目】如果lgx＝lga＋2lgb－3lgc，则x等于_______【解答】[解析] lgx＝lga＋2lgb－3lgc＝lg，∴x＝【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，填空题，易，运算大全 实用文档【题目】满足不等式1≤log2(log2|x|)≤2的正整数x的个数有_____个【解答】答案：26【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，选择题，中，逻辑思维【题目】已知a、b、c依次为方程2x+x=0,log2x=2和的实数根，则a、b、c之间的大小关系为（A）b＞a＞c  （B）c＞b＞a （C）a＞b＞c  （D）b＞c＞a【解答】答案：D【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，选择题，中，逻辑思维若，则（）大全 实用文档A．>>0.又log31)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．【解答】解：(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m，大全 实用文档设F(x)＝loga，x∈[0,1)，由题意，知只要F(x)min≥m即可．∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，解答题，难，分析问题解决问题【题目】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.【解答】例3解：我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量.设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：大全 实用文档死亡年数t12碳14含量Pxx23…t…x3…xt…因此，生物死亡t年后体内碳14的含量P=xt.由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以=x5730，于是x==（），这样生物死亡t年后体内碳14的含量P=（）.由对数与指数的关系，指数式P=（）可写成对数式t=logP.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么t=log0.767，由计算器可得t≈2193.所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址.【属性】高三，指数与对数，对数的运算与性质，解答题，难，探究【题目】大全 实用文档0世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.【解答】例2解：（1）M=lg20－lg0.001=lg=lg20000=lg2+lg104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.（2）由M=lgA－lgA0可得M=lg=10MA=A0·10M.当M=7.6时，地震的最大振幅为A1=A0·107.6；当M=5时，地震的最大振幅为A2=A0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是==107.6－5=102.6≈398.答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.大全 实用文档大全