2022年高一数学 人教A版必修1 2.1.1指数与指数幂的运算 教案 新人教a版必修1
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2022年高一数学 人教A版必修1 2.1.1指数与指数幂的运算 教案 新人教a版必修1

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资料简介
2.1.1指数与指数幂的运算(三课时)教学目标:1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念;2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质;3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点:根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教学难点:根式概念和分数指数幂概念的理解教学方法:学导式教学过程:第一课时:9月20日星期一(I)复习回顾引例:填空(1);a0=1(a;(2)(m,n∈Z);(m,n∈Z);(n∈Z)(3);-;(4);(II)讲授新课1.引入:(1)填空(1),(2)复习了整数指数幂的概念和运算性质(其中:因为可看作,所以可以归入性质;又因为可看作,所以可以归入性质(n∈Z)),这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂,先要学习n次根式()的概念。(2)填空(3),(4)复习了平方根、立方根这两个概念。如:22=4,(-2)2=42,-2叫4的平方根23=82叫8的立方根;(-2)3=-8-2叫-8的立方根25=322叫32的5次方根…2n=a2叫a的n次方根分析:若22=4,则2叫4的平方根;若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,则2叫做32的5次方根,类似地,若2n=a,则2叫a的n次方根。由此,可有:2.n次方根的定义:(板书)一般地,如果,那么x叫做a的n次方根(throot),其中,且。问题1:n次方根的定义给出了,x如何用a表示呢?是否正确?分析过程:例1.根据n次方根的概念,分别求出27的3次方根,-32的5次方根,a6的3次方根。(要求完整地叙述求解过程) 解:因为33=27,所以3是27的3次方根;因为=-32,所以-2是-32的5次方根;因为,所以a2是a6的3次方根。结论1:当n为奇数时(跟立方根一样),有下列性质:正数的n次方根是正数,负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时,a的n次方根可表示为。从而有:,,例2.根据n次方根的概念,分别求出16的4次方根,-81的4次方根。解:因为,,所以2和-2是16的4次方根;因为任何实数的4次方都是非负数,不会等于-81,所以-81没有4次方根。结论2:当n为偶数时(跟平方根一样),有下列性质:正数的n次方根有两个且互为相反数,负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为:其中表示a的正的n次方根,表示a的负的n次方根。例3.根据n次方根的概念,分别求出0的3次方根,0的4次方根。解:因为不论n为奇数,还是偶数,都有0n=0,所以0的3次方根,0的4次方根均为0。结论3:0的n次方根是0,记作当a=0时也有意义。这样,可在实数范围内,得到n次方根的性质:3.n次方根的性质:(板书)其中叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。注意:根式是n次方根的一种表示形式,并且,由n次方根的定义,可得到根式的运算性质。4.根式运算性质:(板书)①,即一个数先开方,再乘方(同次),结果仍为被开方数。问题2:若对一个数先乘方,再开方(同次),结果又是什么?例4:求,,,由所得结果,可有:(板书)②性质的推导如下: 性质①推导过程:当n为奇数时,当n为偶数时,综上所述,可知:性质②推导过程:当n为奇数时,由n次方根定义得:当n为偶数时,由n次方根定义得:则综上所述:注意:性质②有一定变化,大家应重点掌握。(III)例题讲解例1.求下列各式的值:(4)(a>b)注意:根指数n为奇数的题目较易处理,要侧重于根指数n为偶数的运算。(III)课堂练习:求下列各式的值(1)(2)(3)(4)(IV)课时小结通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题。(V)课后作业1、书面作业:a.求下列各式的值b.书P69习题2.1A组题第1题。2、预习作业:a.预习内容:课本P59—P62。b.预习提纲:(1)根式与分数指数幂有何关系?(2)整数指数幂运算性质推广后有何变化?第二课时:9月21日星期二(I)复习回顾1.填空 (1)(2);(3)(4)(5);(6)(II)讲授新课分析:对于“填空”中的第四题,既可根据n次方根的概念来解:;也可根据n次方根的性质来解:。问题1:观察,结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系?,即:当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式。问题2:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形式?如:是否可行?分析:假设幂的运算性质对于分数指数幂也适用,那么,这说明也是的3次方根,而也是a2的3次方根(由于这里n=3,a2的3次方根唯一),于是。这说明可行。由此可有:1.正数的正分数指数幂的意义:)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。问题3:在上述定义中,若没有“a>0”这个限制,行不行?分析:正例:等等;反例:;又如:。这样就产生了混乱,因此“a>0”这个限制不可少。至于,这是正确的,但此时不能理解为分数指数幂,不能代表有理数(因为不能改写为),这只表示一种上标。而 ,那是因为,负号内部消化了。问题4:如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂?分析:正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿;0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。2.负分数指数幂:3.0的分数指数幂:(板书)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义(为什么?)。说明:(1)分数指数幂的意义只是一种规定,前面所举的例子只表示这种规定的合理性;(2)规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数;(3)可以验证整数指数幂的运算性质,对于有理数幂也同样适用,即(板书);(4)根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算,也可利用来计算;反过来,根式也可化成分数指数幂来计算。(5)同样可规定①ap表示一个确定的实数;②上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关念和证明从略;③指数概念可以扩充到实数指数(为下一小节学习指数函数作铺垫)。(III)例题讲解(投影2)例2.求值:分析:此题主要运用有理指数幂的运算性质。解:例3.用分数指数幂的形式表示下列各式:分析:此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。解: (IV)课堂练习课本P63练习:1、2、3、4(V)课时小结通过本节学习,要求大家理解分数指数幂的意义,掌握分数指数幂与根式的互化,熟练运用有理指数幂的运算性质。(V)课后作业1、书面作业:课本P69习题2.1A组题第2,3,4.第三课时:9月22日星期三教学目标1.掌握根式与分数指数幂的互化;2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值;3.培养学生的数学应用意识。教学重点:有理指数幂运算性质运用。教学难点:化简、求值的技巧教学方法:启发引导式教学过程(I)复习回顾1.分数指数幂的概念,以及有理指数幂的运算性质分数指数幂概念有理指数幂运算性质;2.用分数指数幂表示下列各式(a>0,x>0)(II)讲授新课例1.计算下列各式(式中字母都是正数)分析:(1)题可以仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并且要注意符号。(2)题先按积的乘方计算,后按幂的乘方计算,等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求,可根据要求给出结果,但:①结果不能同时含有根式和分数指数;②不能同时含有分母和负指数; ③根式需化成最简根式。解:例2.计算下列各式:分析:(1)题把根式化成分数指数幂的形式,再计算。(2)题先把根式化成分数指数幂的最简形式,然后计算。解:例3.求值:分析:(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质;解:要求:例3学生先练习,后讲评,讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。(III)课堂练习计算下列各式: 要求:学生板演练习,做完后老师讲评。(IV)课时小结通过本节学习,要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值,并掌握一定的解题技巧,如凑完全平方、寻求同底幂等方法。

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