2018版高中数学人教a版)必修1同步教师用书:第1章1.3.2奇偶性
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2018版高中数学人教a版)必修1同步教师用书:第1章1.3.2奇偶性

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资料简介
1.3.2 奇偶性1.结合具体函数了解函数奇偶性的含义.(难点)2.会判断函数奇偶性的方法.(重点、难点)3.能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性,了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系.(易混点)[基础·初探]教材整理1 偶函数阅读教材P33~P34“观察”以上部分,完成下列问题.偶函数条件对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)结论函数f(x)叫做偶函数图象特征偶函数的图象关于y轴对称,图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在 y轴左侧的图象,如图134所示,请补出完整函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的增区间.图134【解】 由题意做出函数图象如下:据图可知,单调增区间为(-1,0),(1,+∞).教材整理2 奇函数阅读教材P34“观察”至P35“例5”以上部分,完成下列问题.奇函数条件对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)结论函数f(x)叫做奇函数图象特征奇函数的图象关于原点对称,图象关于原点对称的函数一定是奇函数.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.(  )(2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.(  )(3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.(  )【解析】 (1)×.如f(x)=x2,满足f(-0)=-f(0)=0,但函数f(x)=x2不是奇函数. (2)×.存在f(x)=0,x∈R既是奇函数,又是偶函数.(3)×.函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数.【答案】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]函数奇偶性的判断 给出以下结论:①f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数;②g(x)=既不是奇函数也不是偶函数;③F(x)=f(x)f(-x)(x∈R)是偶函数;④h(x)=+既是奇函数,又是偶函数.其中正确的序号是________.【精彩点拨】 先求函数的定义域,若定义域不关于原点对称,则既不是奇函数也不是偶函数;若关于原点对称,利用函数的奇偶性判断.【自主解答】 对于①,∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数,①正确;对于②,由1-x2≥0,得-1≤x≤1,∴g(x)===,满足g(-x)=-g(x),故y=g(x)是奇函数,②错误; 对于③,∵F(x)=f(x)f(-x),∴F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)(x∈R),∴F(x)=f(x)f(-x)是偶函数,③正确;对于④,由解得x=±1,故函数h(x)的定义域为{-1,1},且h(x)=0,所以h(x)既是奇函数,又是偶函数,④正确.【答案】 ①③④定义法判断函数奇偶性的步骤[再练一题]1.下列函数中,是偶函数的有________.(填序号)【导学号:97030060】(1)f(x)=x3;(2)f(x)=|x|+1;(3)f(x)=;(4)f(x)=x+;(5)f(x)=x2,x∈[-1,2].【解析】 对于(1),f(-x)=-x3=-f(x),则为奇函数;对于(2),f(-x)=|-x|+1=|x|+1,则为偶函数;对于(3),定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)===f(x),则为偶函数; 对于(4),定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=-x-=-f(x),则为奇函数;对于(5),定义域为[-1,2],不关于原点对称,不具有奇偶性,则为非奇非偶函数.故为偶函数的是(2)(3).【答案】 (2)(3)利用函数的奇偶性求函数值或参数值 (1)若函数f(x)=为奇函数,则a=(  )A.   B.   C.   D.1(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(-2)=10,那么f(2)=________.【精彩点拨】 (1)利用奇函数的定义得到f(-1)=-f(1),列出方程求出a;(2)由已知中f(x)=x5+ax3+bx-8,我们构造出函数g(x)=f(x)+8,由函数奇偶性的性质,可得g(x)为奇函数,由f(-2)=10,我们逐次求出g(-2)、g(2),可求f(2).【自主解答】 (1)∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1),∴=,∴1+a=3(1-a),解得a=,故选A.(2)∵f(x)=x5+ax3+bx-8,令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数,∵f(-2)=10,∴g(-2)=10+8=18,∴g(2)=-18, ∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.【答案】 (1)A (2)-261.由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.2.利用函数的奇偶性求函数值时,若所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数,然后利用其奇偶性求值,如本例(2)即是如此.[再练一题]2.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________.【解析】 由于f(x)是偶函数,由题意可知∴a=,b=0.【答案】  0利用奇偶性求函数的解析式 函数f(x)在R上为奇函数,当x>0时,f(x)=+1,求f(x)的解析式.【精彩点拨】 设x<0,则-x>0,结合f(-x)=-f(x),f(0)=0,可求f(x). 【自主解答】 设x<0,则-x>0,∴f(-x)=+1.∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-f(x)=+1,∴f(x)=--1.∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,∴f(x)=利用奇偶性求函数解析式的一般步骤1.在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间.2.把x对称转化到已知区间上,利用已知区间的解析式进行代入.3.利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).[再练一题]3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x-2),则当x<0时,f(x)的表达式为(  )A.f(x)=x(x-2)B.f(x)=x(x+2)C.f(x)=-x(x-2)D.f(x)=-x(x+2)【解析】 ∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).∵当x≥0时,f(x)=x(x-2),∴当x<0时,即-x>0,f(x)=-f(-x)=-[-x(-x-2)]=-x(x+2).故选D.【答案】 D[探究共研型]函数奇偶性与单调性的综合应用 探究1 如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在(-b,-a)上的单调性如何?如果偶函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么f(x)在(-b,-a)上的单调性如何?【提示】 如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在(-b,-a)上单调递增;如果偶函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么f(x)在(-b,-a)上单调递增.探究2 你能否把探究1所得出的结论用一句话概括出来?【提示】 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.探究3 若偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,那么f(3)和f(-2)的大小关系如何?若f(a)>f(b),你能得到什么结论?【提示】 f(-2)>f(3),若f(a)>f(b),则|a|

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