函数的最大(小)值与导数(III)

1.3.3 1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件.(重点)3．掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤.(难点) f(x)0x2xXx2f(x)f(x)xXx1f(x)f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)＋0－f(x)最大值 所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.(2)当af(－1)．所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，a＝－2.综上所述a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.[点拨]本题运用了求极值、最值的方法，采用了待定系数法确定a，b的值，体现了方程的思想和分类讨论的思想． 变式1：已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a;(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。令f(-2)于是有22+a=20,解得a=-2∴f(x)=-x3+3x2+9x-2∴f(x)在[-1,2]上单调递增∴在(-1,3)上>0,又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减，即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 变式2：已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．[分析]由题目可获取以下主要信息：①函数f(x)＝x2(x－a)中含有参数a；②在a确定的情况下，求切线方程；③在a不确定的情况下求函数在区间[0,2]上的最大值．解答本题可先对函数求导，然后根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值． [解析](1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0. 与最值有关的不等式的恒成立问题例4. 解：（I）∵（），∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.当t变化时、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)+0-g(t)递增极大值1-m递减∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-mh(t)