1.2.1几个常见函数的导数

[学业水平训练]1．y＝的导数是(  )A．3x2B．x2C．－D．解析：选D．∵y＝＝x，∴y′＝x－＝.2．函数y＝sin(x＋)的导数为(  )A．y′＝－cos(x＋)B．y′＝cosx－sinxC．y′＝－sinxD．y′＝cosx解析：选C．∵y＝sin(x＋)＝cosx，∴y′＝－sinx.3．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为(  )A．1B．2C．eD．解析：选A.由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1.4．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则P的坐标为(  )A．(，2)B．(，2)或(－，－2)C．(－，－2)D．(，－2)解析：选B.因为y′＝－，令－＝－4，得x＝±，P的坐标为(，2)或(－，－2)，故选B.5．(2014·黄冈高二检测)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于(  )A．64B．32C．16D．8解析：选A.∵y′＝－·x－，∴y′|x＝a＝－·a－，∴在点(a，a－)处的切线方程为y－a－＝－·a－·(x－a)．令x＝0，得y＝a－，令y＝0，得x＝3a，∴×3a×a－＝18，解得a＝64.6．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________． 解析：∵y′＝(lnx)′＝，∴y′|x＝e＝.∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.答案： x－ey＝07．已知函数f(x)＝，且f′(a)－f(a)＝－2，则a＝________.解析：f(x)＝，所以f′(x)＝－，f′(a)－f(a)＝－－＝－2.即2a2－a－1＝0，解得a＝1或a＝－.答案：1或－8．(2014·忻州高二检测)与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝相切的直线方程是________．解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y′＝()′＝，∴＝2，解得x＝.∴切点的坐标为(，)．故切线方程为y－＝2(x－)．即16x－8y＋1＝0.答案：16x－8y＋1＝09．求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝log2x2－log2x；(5)y＝－2sin(1－2cos2)．解：(1)y′＝(x)′＝(x)′＝x－1＝.(2)y′＝()′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝(x)′＝x－1 ＝x－＝.(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝.(5)∵y＝－2sin(1－2cos2)＝2sin(2cos2－1)＝2sincos＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.10．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.解：设P点坐标为(x0，y0)，∵y′＝－8x－3，∴y′|x＝x0＝－8x＝tan135°＝－1，即8x＝1，∴x0＝2.将x0＝2代入曲线方程得y0＝1，∴所求P点坐标为(2,1)．[高考水平训练]1．(2014·望江高二检测)直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(  )A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2解析：选C．∵y＝lnx的导数y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.2．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2014(x)＝________.解析：由已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…依次类推可得，f2014(x)＝f2(x)＝－sinx.答案：－sinx3．过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．解：∵(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的直线的斜率为ex0，∴所求切线的方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．∵切线过原点，∴－ex0＝－x0·e，x0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e.4．已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的上求一点P，使△APB的面积最大．解：因为|AB|为定值，所以要使△APB的面积最大，只要点P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点即可．设P(x，y)，由图知，点P在x 轴下方的图象上，所以y＝－2，所以y′＝－.因为kAB＝－，所以－＝－，x＝4.由y2＝4x(y＜0)，得y＝－4，所以P(4，－4)．