新人教A版必修1 高中数学 1.1.2 集合间的基本关系 教案

集合间的基本关系教案  1.1.2集合间的基本关系  教学分析  课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.  值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与的区别.  三维目标  1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.  2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.  重点难点  教学重点:理解集合间包含与相等的含义.  教学难点:理解空集的含义.  课时安排  1课时  教学过程  导入新课   思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,53等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间  有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)  欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.  (1)∈;(2);(3)∈)  推进新课  新知探究  提出问题  (1)观察下面几个例子:  ①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};  ④E={2,4,6},F={6,4,2}.  你能发现两个集合间有什么关系吗？  (2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？  (3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?  (4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？  (5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.  (6)已知AB,试用Venn图表示集合A和B的关系.  (7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？   (8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？  (9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?  活动：教师从以下方面引导学生:  (1)观察两个集合间元素的特点.  (2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A?B,但存在x∈B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).  (3)实数中的“≤”类比集合中的?.  (4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.  (5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.  (6)分类讨论:当A?B时,AB或A=B.  (7)方程x2+1=0没有实数解.  (8)空集记为?,并规定:空集是任何集合的子集,即??A;空集是任何非空集合的真子集,即  A(A≠?).  (9)类比子集.  讨论结果：  (1)①集合A中的元素都在集合B中;  ②集合A中的元素都在集合B中;  ③集合C中的元素都在集合D中;   ④集合E中的元素都在集合F中.  可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.  (2)例子①中A?B,但有一个元素4∈B,且4?A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.  (3)若A?B,且B?A,则A=B.  (4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.  (5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合  B.?  图  1-1-2-1  (6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示  .图1-1-2-2  图  1-1-2-3  (7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.  (8)空集.图1-1-2-4  (9)若A?B,B?C,则A?C;若A应用示例B,BC,则AC.  思路1  1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.  (1)则下列包含关系哪些成立？  A?B,B?A,A?C,C?A.   (2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.  活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则A?B成立,否则A?B不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:  (1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;  长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.  (2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.  解：(1)包含关系成立的有:B?A,C?A.  (2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示  .  图1-1-2-5  变式训练  课本P7练习3.  点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合  A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有A?B;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.  2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.   活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论.  解：集合{a,b}的所有子集为?,{a},{b},{a,b}.真子集为?,{a},{b}.  变式训练  xx山东济宁一模,1  已知集合P={1,2},那么满足Q?P的集合Q的个数是()  A.4B.3C.2D.1  分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个,  又集合Q?P,所以集合Q有4个.  答案：A  点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.  思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？  解：当n=0时,即空集的子集为?,即子集的个数是1=20;  当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为?,{a},即子集的个数是2=21;  当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为?,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22.……  集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集.   思路2  答案：1  点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.  讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.  变式训练  已知集合M={x|2-x2}≠?,由于NM,则N=?或N≠?,要对集合N是否为空集分类讨论.  解：由题意得M={x|x>2}≠?,则N=?或N≠?.  当N=?时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;  111,又∵NM,∴∈M.∴>2.aaa  111∴0  2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:?,{a},{a,b},{a,b,c}.当N≠?时,关于x的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=  (2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集？  答案：(1)?的子集有:?,即有1个子集;  {a}的子集有:?、{a},即{a}有2个子集;  {a,b}的子集有:?、{a}、{b}、{a,b},即{a,b}有4个子集;  {a,b,c}的子集有:?、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集.   (2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集;  当n=1时,集合M有2=21个子集;  当n=2时,集合M有4=22个子集;  当n=3时,集合M有8=23个子集;  因此含有n个元素的集合M有2n个子集.  变式训练  已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有……()  A.3个B.4个C.5个D.6个  分析:对集合A所含元素的个数分类讨论.  A=?或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个.  答案：D  点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.  知能训练  课本P7练习1、2.  【补充练习】  1.判断正误:  (1)空集没有子集.()  (2)空集是任何一个集合的真子集.()  (3)任一集合必有两个或两个以上子集.()   (4)若B?A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B.()分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.  解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.  对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.  对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则x?A时也必有x?B.  2.集合A={x|-1  分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.  解：因-1  即a={x|-1  真子集:?、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.  3.(1)下列命题正确的是()  A.无限集的真子集是有限集  B.任何一个集合必定有两个子集  C.自然数集是整数集的真子集  D.{1}是质数集的真子集  (2)以下五个式子中,错误的个数为()①{1}∈{0,1,2}②{1,-3}={-3,1}③{0,1,2}?{1,0,2}  ④?∈{0,1,2}⑤?∈{0}  A.5B.2C.3D.4  (3)M={x|3   分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,  无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于?只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.  (2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.  ①应是{1}?{0,1,2},④应是??{0,1,2},⑤应是??{0}.  故错误的有①④⑤.  (3)M={x|3  因3  {a}是{x|3  答案：(1)C(2)C(3)DM.  我的教学设计模板  1.1.2集合间的基本关系  一、设计理念  新课标指出：学生的数学学习活动不应只是接受、记忆、模仿、练习，教师应引导学生自主探究、合作学习、动手操作、阅读自学，应注重提升学生的数学思维能力，注重发展学生的数学应用意识。  二、教材分析   本节课选自人教版《普通高中课程标准实验教课书》必修1，第一章1.1.2集合间的基本关系。集合是数学的基本和重要语言之一，在数学以及其他的领域都有着广泛的应用，用集合及对应的语言来描述函数，是高中阶段的一个难点也是重点，因此集合语言作为一种研究工具，它的学习非常重要。本节内容主要是集合间基本关系的学习，重在让学生类比实数间的关系，来进行探究，同时培养学生用数学符号语言，图形语言进行交流的能力，让学生在直观的基础上，理解抽象的概念，同时它也是后续学习集合运算的知识储备，因此有着至关重要的作用。  三、学情分析  【年龄特点】：  假设本次的授课对象是普通高中高一学生，高一的学生求知欲强，精力旺盛，思维活跃，已经具备了一定的观察、分析、归纳能力，能够很好的配合教师开展教学活动。  【认知优点】  一方面学生已经学习了集合的概念，初步掌握了集合的三种表示法，对于本节课的学习有利一定的认知基础。  【学习难点】  但是，本节课这种类比实数关系研究集合间的关系，这种类比学习对于学生来说还有一定的难度。  四、教学目标  ?知识与技能：  1.理解子集、V图、真子集、空集的概念。  2.掌握用数学符号语言以及V图语言表示集合间的基本关系。  3.能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系。  ?过程与方法：  1.通过类比实数间的关系，研究集合间的关系，培养学生类比、观察、  分析、归纳的能力。  2.培养学生用数学符号语言、图形语言进行交流的能力。   ?情感态度与价值观：  1.激发学生学习的兴趣，图形、符号所带来的魅力。  2.感悟数学知识间的联系，养成良好的思维习惯及数学品质。  五、教学重、难点  重点：  集合间基本关系。  难点：  类比实数间的关系研究集合间的关系。  六、教学手段  PPT辅助教学  七、教法、学法  ?教法：  探究式教学、讲练式教学  遵循“教师主导作用与学生主体地位相结合的”教学规律，引导学生自主探究，合作学习，在教学中引导学生类比实数间关系，来研究集合间的关系，降低了学生学习的难度，同时也激发了学生学习的兴趣，充分体现了以学生为本的教学思想。  ?学法：  自主探究、类比学习、合作交流  教师的“教”其本质是为了“不教”，教师除了让学生获得知识，提高解题能力，还应该让学生学会学习，乐于学习，充分体现“以学定教”的教学理念。通过引导学生类比学习，同学间的合作交流，让学生更好的学习集合的知识。  八、课型、课时   课型：新授课  课时：一课时  九、教学过程  （一）教学流程图  （二）教学详细过程  1..回顾就知，引出新知  问题一：实数间有相等、不等的关系，例如5=5，3﹤7，那么集合之间会有什么关系呢？  2.合作交流，探究新知  问题二：大家来仔细观察下面几个例子，你能发现集合间的关系吗？  （1）A={1,2,3},B={1，2，3，4，5}；  （2）设A为新华中学高一（2）班女生的全体组成集合；B为这个班学生的全体组成集合；  （3）设C={x∣x是两条边相等的三角形}，D={x∣x是等腰三角形}  【师生活动】：学生观察例子后，得出结论，在（1）中集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，教师总结，这时我们说集合A与集合B有包含关系。（2）中的集合也是这种关一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：A?B（B?A），读作A含于B或者B包含A.  在数学中我们经常用平面上封闭的曲线内部代表集合，这样上述集合A与集合B的包含关系，可以用下图来表示：   问题三：你能举出几个集合，并说出它们之间的包含关系吗？  【师生活动】：学生自己举出些例子，并加以说明，教师对学生的回答进行补充。  问题四：对于题目中的第3小题中的集合，你有什么发现吗？  【师生活动1】：在（3）由于两边相等的三角形是等腰三角形，因此集合C,D都是所有等腰三角形的集合，集合C中任意一个元素都是集合D的元素，同时集合D任意一个元素都是集合C的元素，因此集合C与集合D相等，记作：C=D。  用集合的概念对相等做进一步的描述：  如果集合A是集合B子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A与集合B的元素一样，因此集合A与集合B相等，记作A=B。  强调：如果集合A?B，但存在元素x∈B,且x?A，我们称集合A是集合B的真子集，记作：A?B  【师生活动2】：教师引导学生以（1）为例，指出A?B，但4∈B，4?A,教师总结所以集合A是集合B的真子集。  【师生活动】?，并规定空集是任何集合的  4.思维拓展，讨论新知  问题六：包含关系{a}?A与属于关系a∈A有什么区别？请大家用具体例子来说明  【师生活动1】：学生以（1）为例{1，2}?A，2∈A，说明前者是集合之间的关系，后者是  问题七：经过以上集合之间关系的学习，你有什么结论？  【师生活动】：师生讨论得出结论：  (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A   5.练习反馈，培养能力  例1写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是真子集  例2用适当的符号填空  （1）a＿{a，b，c}  （2）{0，1}＿N  (3){2,1}＿{X∣X2-3X+2=0}  6.课堂小结，布置作业  这节课你学到了哪些知识？  小结知识上：  能力上：  情感上：  作业：必做题：P8，3  思考题：实数间有运算，那集合呢？    内容仅供参考